Rectas y planos

a) Calculamos$$\overrightarrow{AB} = B - A = (-1,\ 4,\ -4), \qquad \overrightarrow{AC} = C - A = (1,\ 3,\ -3)$$No son proporcionales: $\dfrac{-1}{1} = -1$ pero $\dfrac{4}{3} \neq -1$. Así que $A$, $B$ y $C$ no están alineados y forman un triángulo $T$.

El plano que los contiene tiene como normal$$\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 4 & -4 \\ 1 & 3 & -3 \end{vmatrix} = (-12 + 12)\,\vec{i} - (3 + 4)\,\vec{j} + (-3 - 4)\,\vec{k} = (0,\ -7,\ -7)$$Podemos tomar $\vec{n} = (0, 1, 1)$. El plano es $y + z + D = 0$ y, como pasa por $A(1,-2,3)$: $-2 + 3 + D = 0$, luego $D = -1$:$$\pi \equiv y + z - 1 = 0$$Comprobación: $B$: $2 - 1 - 1 = 0$ ✓; $C$: $1 + 0 - 1 = 0$ ✓.

b) La recta que pasa por $A$ y $B$, con director $\overrightarrow{AB} = (-1, 4, -4)$:$$r_{AB} \equiv \left\{\begin{array}{l} x = 1 - \lambda \\ y = -2 + 4\lambda \\ z = 3 - 4\lambda \end{array}\right.$$Imponemos $z = 1$: $3 - 4\lambda = 1 \Rightarrow \lambda = \dfrac{1}{2}$. El punto de corte es$$P = \left(1 - \frac{1}{2},\ -2 + 2,\ 3 - 2\right) = \left(\frac{1}{2},\ 0,\ 1\right)$$Como el director de la recta tiene tercera componente $-4 \neq 0$, la recta no es paralela al plano $z = 1$ y el corte es único. (Además, $P$ está entre $A$ y $B$: es el punto medio del segmento, porque $\lambda = \tfrac{1}{2}$.)

c) Las longitudes de los lados son$$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1 + 16 + 16} = \sqrt{33}, \qquad |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{1 + 9 + 9} = \sqrt{19}$$$$\overrightarrow{BC} = C - B = (2,\ -1,\ 1), \qquad |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$$El perímetro es$$\text{Per}(T) = \sqrt{33} + \sqrt{19} + \sqrt{6} \approx 5{,}745 + 4{,}359 + 2{,}449 \approx 12{,}55 \ \text{unidades}$$