Derivadas y aplicaciones

a) Para todo $x \in \mathbb{R}$:$$f(-x) = \sqrt[3]{\bigl((-x)^2 - 1\bigr)^2} = \sqrt[3]{(x^2 - 1)^2} = f(x)$$luego $f$ es par (gráfica simétrica respecto del eje $OY$). No es impar: por ejemplo, $f(0) = 1 \neq 0$, y una función impar definida en $0$ debe cumplir $f(0) = -f(0) = 0$.

b) Para $x \neq \pm 1$, por la regla de la cadena,$$f'(x) = \frac{2}{3}(x^2 - 1)^{-1/3}\cdot 2x = \frac{4x}{3\sqrt[3]{x^2 - 1}}$$En $x = 1$ esta expresión no está definida, así que usamos la definición. Como $f(1) = 0$:$$f'(1) = \lim_{h \to 0}\frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{\sqrt[3]{(2h + h^2)^2}}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{\sqrt[3]{h^2}\,\sqrt[3]{(2 + h)^2}}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{\sqrt[3]{(2 + h)^2}}{\sqrt[3]{h}}$$El numerador tiende a $\sqrt[3]{4} > 0$ y el denominador a $0$ con el signo de $h$:$$\lim_{h \to 0^+}\frac{\sqrt[3]{(2 + h)^2}}{\sqrt[3]{h}} = +\infty, \qquad \lim_{h \to 0^-}\frac{\sqrt[3]{(2 + h)^2}}{\sqrt[3]{h}} = -\infty$$Las derivadas laterales son infinitas (y de distinto signo), así que $f$ no es derivable en $x = 1$, aunque sí es continua. La gráfica tiene ahí un punto de retroceso: llega con tangente vertical bajando y sale con tangente vertical subiendo. Por ser $f$ par, lo mismo ocurre en $x = -1$.

c) Puntos críticos. $f'(x) = 0 \iff 4x = 0 \iff x = 0$. Además $f$ no es derivable en $x = \pm 1$. Los candidatos a extremo son $x = -1$, $x = 0$ y $x = 1$.

Signo de $f'$. El signo de $\sqrt[3]{x^2 - 1}$ es el de $x^2 - 1$ (la raíz cúbica conserva el signo):Como $f$ es continua en todo $\mathbb{R}$, los cambios de monotonía dan extremos también en los puntos no derivables:

• En $x = -1$ y $x = 1$ pasa de decrecer a crecer: mínimos relativos, con $f(\pm 1) = 0$.
• En $x = 0$ pasa de crecer a decrecer: máximo relativo, con $f(0) = \sqrt[3]{1} = 1$.

Extremos absolutos. Como $f(x) = \sqrt[3]{(x^2-1)^2} \geq 0$ para todo $x$ y $f(\pm 1) = 0$, los puntos $(-1, 0)$ y $(1, 0)$ son mínimos absolutos. En cambio,$$\lim_{x \to \pm\infty}\sqrt[3]{(x^2 - 1)^2} = +\infty,$$así que $f$ no está acotada superiormente y no tiene máximo absoluto (el máximo de $x = 0$ es solo relativo: por ejemplo $f(2) = \sqrt[3]{9} \approx 2{,}08 > 1$).