Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Comunidad de Madrid · 2023 · Junio

Enunciado

En una obra, para transportar la tierra extraída para la construcción de los cimientos de un edificio, se usan tres tipos de camiones diferentes:

A

B

C

. Los camiones de tipo

A

tienen una capacidad de

14

toneladas, los de tipo

B

, de

24

toneladas y los de tipo

C

, de

28

toneladas. Habría que traer un camión más de tipo

A

para igualar al número de camiones restantes. El

10\,\%

de la capacidad de todos los camiones tipo

B

supone un séptimo de la de los de mayor tonelaje. Hoy, realizando un único viaje cada camión a máxima capacidad, se han extraído de la obra

302

toneladas de tierra. ¿Cuánta tierra ha sido transportada hoy por los camiones de cada tipo?

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;x = 7\ (A),\quad y = 5\ (B),\quad z = 3\ (C)\ \text{camiones}\;}

\boxed{\;A:\ 98\ \text{t},\qquad B:\ 120\ \text{t},\qquad C:\ 84\ \text{t}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Las incógnitas naturales son cuántos camiones hay de cada tipo:

x

de tipo

A

y

de tipo

B

z

de tipo

C

. Cada frase del enunciado da una ecuación:

"Un camión más de tipo $A$ iguala al resto": $x + 1 = y + z$ .
"El 10 % de la capacidad de los $B$ es un séptimo de la de los de mayor tonelaje" (los de mayor tonelaje son los $C$ , de 28 t).
"Un viaje de cada camión lleno da 302 t".

Resolvemos el sistema y, al final, convertimos el número de camiones en toneladas, que es lo que de verdad se pregunta. Como el número de camiones tiene que ser natural, la solución nos sirve además de comprobación.

Desarrollo

Planteamiento. Sean

x

y

z

el número de camiones de tipo

A

B

C

Con un camión más de tipo $A$ habría tantos como de los otros dos tipos juntos:

x + 1 = y + z \;\Longrightarrow\; x - y - z = -1

La capacidad total de los camiones $B$ es $24y$ toneladas, y la de los de mayor tonelaje (los $C$ ), $28z$ :

0{,}1\cdot 24y = \frac{1}{7}\cdot 28z \;\Longrightarrow\; 2{,}4\,y = 4z \;\Longrightarrow\; 3y - 5z = 0

Un viaje de cada camión a plena carga:

14x + 24y + 28z = 302 \;\Longrightarrow\; 7x + 12y + 14z = 151

Queda el sistema

\left\{\begin{array}{l} x - y - z = -1 \\ 3y - 5z = 0 \\ 7x + 12y + 14z = 151 \end{array}\right.

Su determinante es

\begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & 3 & -5 \\ 7 & 12 & 14 \end{vmatrix} = 1(42 + 60) + 1(0 + 35) - 1(0 - 21) = 102 + 35 + 21 = 158 \neq 0,

así que el sistema es compatible determinado: hay una única solución.

Resolución. De la segunda ecuación,

y = \dfrac{5z}{3}

. Llevándolo a la primera,

x = y + z - 1 = \dfrac{8z}{3} - 1

. Sustituimos en la tercera:

7\left(\frac{8z}{3} - 1\right) + 12\cdot\frac{5z}{3} + 14z = 151 \;\Longrightarrow\; \frac{56z}{3} - 7 + 20z + 14z = 151

\frac{56z + 102z}{3} = 158 \;\Longrightarrow\; \frac{158z}{3} = 158 \;\Longrightarrow\; z = 3

Por tanto

y = 5

x = 8 - 1 = 7

: hay 7 camiones de tipo $A$ , 5 de tipo $B$ y 3 de tipo $C$ (números naturales, como debe ser).

Toneladas transportadas por cada tipo.

A:\ 7\cdot 14 = 98\ \text{t}, \qquad B:\ 5\cdot 24 = 120\ \text{t}, \qquad C:\ 3\cdot 28 = 84\ \text{t}

Comprobación.

7 + 1 = 8 = 5 + 3

✓. El 10 % de

120

t es

12

t y un séptimo de

84

t es

12

t ✓. Total:

98 + 120 + 84 = 302

t ✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

La pregunta es cuánta tierra lleva cada tipo, no cuántos camiones hay: si te quedas en $x = 7$ , $y = 5$ , $z = 3$ pierdes los últimos 0,25 puntos. Lee siempre otra vez la pregunta antes de cerrar.

Cuidado con la segunda frase: el 10 % es de la capacidad total de los camiones $B$ ( $24y$ ), no del número de camiones, y "los de mayor tonelaje" son los $C$ . Cada ecuación bien planteada vale 0,5 puntos.