Matemáticas IIMedio2,5 pts

Probabilidad

También trata: Distribución normal

Comunidad de Madrid · 2023 · Julio (coincidentes)

Enunciado

Un determinado jugador de baloncesto tiene un porcentaje de éxito del

85\,\%

en tiros libres y del

20\,\%

en tiros desde el centro del campo.

a) (1,5 puntos) Para finalizar el calentamiento antes de cada partido el citado jugador lanza cuatro tiros libres y cuatro tiros desde el centro del campo. ¿Cuál es la probabilidad de que acierte tres de los cuatro tiros libres? ¿Cuál es la probabilidad de que acierte tres de los cuatro tiros desde el centro del campo? ¿Y la de que acierte tres tiros libres y tres desde el centro del campo de los ocho lanzados?

b) (1 punto) Calcule, mediante la aproximación por una normal, la probabilidad de que el citado jugador falle al menos el

20\,\%

de los tiros libres de una serie de

200

tiros libres.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) } 0{,}368475;\quad 0{,}0256;\quad 0{,}00943296 \qquad \text{b) } P(T \le 160) \approx 0{,}0301}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cada tiro es un ensayo con dos resultados (acierto o fallo), con la misma probabilidad de acierto en todos los del mismo tipo y, suponemos, independientes entre sí. Contar aciertos es, por tanto, una binomial.

En a) hay dos binomiales distintas, una para los tiros libres y otra para los del centro del campo; la tercera pregunta junta dos sucesos independientes, así que su probabilidad es el producto.

En b), con

n = 200

la binomial se aproxima por una normal de la misma media y desviación típica, comprobando que

np

nq

son grandes y aplicando la corrección por continuidad. Hay que traducir bien el suceso: fallar al menos el

20\,\%

de 200 es fallar 40 o más, es decir, acertar 160 o menos.

Desarrollo

a) Sean

X

= aciertos en los 4 tiros libres,

X \sim B(4;\ 0{,}85)

, e

Y

= aciertos en los 4 tiros desde el centro,

Y \sim B(4;\ 0{,}2)

P(X = 3) = \binom{4}{3}\,0{,}85^3 \cdot 0{,}15 = 4 \cdot 0{,}614125 \cdot 0{,}15 = 0{,}368475

P(Y = 3) = \binom{4}{3}\,0{,}2^3 \cdot 0{,}8 = 4 \cdot 0{,}008 \cdot 0{,}8 = 0{,}0256

Los tiros libres y los del centro son independientes, así que

P(X = 3 \,\cap\, Y = 3) = P(X = 3) \cdot P(Y = 3) = 0{,}368475 \cdot 0{,}0256 = 0{,}00943296 \approx 0{,}0094

b) Sea

T

= aciertos en 200 tiros libres,

T \sim B(200;\ 0{,}85)

\mu = np = 200 \cdot 0{,}85 = 170, \qquad \sigma = \sqrt{npq} = \sqrt{200 \cdot 0{,}85 \cdot 0{,}15} = \sqrt{25{,}5} \approx 5{,}05

Como

np = 170 \ge 5

nq = 30 \ge 5

, la aproximación es válida:

T \approx T' \sim N(170;\ 5{,}05)

.

Fallar al menos el

20\,\%

de los 200 tiros es fallar al menos 40, es decir, acertar como mucho

160

. Con la corrección por continuidad (el valor 160 corresponde al intervalo

[159{,}5;\ 160{,}5]

P(T \le 160) \approx P(T' \le 160{,}5) = P\left(Z \le \frac{160{,}5 - 170}{5{,}05}\right) = P(Z \le -1{,}88)

Por la simetría de la normal:

P(Z \le -1{,}88) = 1 - P(Z \le 1{,}88) = 1 - 0{,}9699 = 0{,}0301

Contraste. Sumando la binomial exacta,

P(T \le 160) \approx 0{,}034

: la aproximación es razonable.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En b) se puede trabajar con los fallos, $F \sim B(200;\ 0{,}15)$ , de media 30: entonces se pide $P(F \ge 40) \approx P(F' \ge 39{,}5) = P(Z \ge 1{,}88)$ , que da lo mismo. Lo que no vale es mezclar: si cuentas aciertos, la media es 170.

La corrección resta 0,25 puntos si falta la corrección por continuidad o se aplica al revés: «como mucho 160» es $P(T' \le 160{,}5)$ , no $P(T' \le 159{,}5)$ .

Cuidado con la notación: $N(170;\ 5{,}05)$ lleva la desviación típica, no la varianza $25{,}5$ .