Matemáticas IIMedio2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Comunidad de Madrid · 2023 · Julio (coincidentes)

Enunciado

Dados la recta

r \equiv \left\{\begin{array}{l} x + y + z = 2 \\ x - z = 4 \end{array}\right.

y el punto

A(4, -3, 4)

, se pide:

a) (1,25 puntos) Calcular la distancia del punto

A

a la recta

r

. ¿En qué punto de la recta se alcanza?

b) (1,25 puntos) Calcular el volumen del tetraedro determinado por los planos

x = 0

y = 0

z = 0

y el plano perpendicular a

r

que pasa por el punto

A

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) } d(A, r) = \sqrt{11} \text{ u, en } B(5, -4, 1) \qquad \text{b) } V = \frac{686}{3} \text{ u}^3}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Como además de la distancia se pide el punto de la recta donde se alcanza, conviene calcularla como distancia de

A

a su proyección ortogonal

B

sobre

r

. Esa proyección es el corte de

r

con el plano perpendicular a

r

que pasa por

A

, que es justo el plano que se usa en b).

En b), ese plano corta a los tres ejes en tres puntos; con el origen forman un tetraedro de aristas sobre los ejes, cuyo volumen es

\frac{1}{6}

del valor absoluto del producto mixto (o

\frac{1}{6}

del producto de las tres longitudes).

Desarrollo

Recta $r$ . Su director es el producto vectorial de los normales de los dos planos:

\vec{u} = (1, 1, 1) \times (1, 0, -1) = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = (-1 - 0)\,\vec{i} - (-1 - 1)\,\vec{j} + (0 - 1)\,\vec{k} = (-1,\ 2,\ -1)

Un punto: con

z = 0

sale

x = 4

y = -2

, es decir,

(4, -2, 0)

. En paramétricas:

r \equiv \left\{\begin{array}{l} x = 4 - \lambda \\ y = -2 + 2\lambda \\ z = -\lambda \end{array}\right. \qquad \lambda \in \mathbb{R}

a) Plano perpendicular a $r$ por $A$ . Su normal es

\vec{u}

-(x - 4) + 2(y + 3) - (z - 4) = 0 \;\Longrightarrow\; \pi \equiv x - 2y + z - 14 = 0

Proyección de $A$ sobre $r$ . Sustituimos el punto genérico de

r

\pi

(4 - \lambda) - 2(-2 + 2\lambda) + (-\lambda) - 14 = 0 \;\Longrightarrow\; -6 - 6\lambda = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda = -1

B = (5,\ -4,\ 1)

Comprobación.

B \in r

5 - 4 + 1 = 2

✓ y

5 - 1 = 4

✓. Además

\overrightarrow{AB} = (1, -1, -3)

cumple

\overrightarrow{AB}\cdot\vec{u} = -1 - 2 + 3 = 0

✓.

Distancia.

d(A, r) = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{11} \approx 3{,}32

Con la fórmula. Con

P = (4, -2, 0) \in r

\overrightarrow{PA} = (0, -1, 4)

\overrightarrow{PA} \times \vec{u} = (1 - 8,\ -4 - 0,\ 0 - 1) = (-7, -4, -1)

, de módulo

\sqrt{66}

; entonces

d = \dfrac{\sqrt{66}}{\sqrt{6}} = \sqrt{11}

✓.

b) El plano

\pi \equiv x - 2y + z = 14

corta a los ejes en

P_1(14, 0, 0), \qquad P_2(0, -7, 0), \qquad P_3(0, 0, 14)

y, con el origen

O

, forma el tetraedro. Su volumen es

V = \frac{1}{6}\left|\det\left(\overrightarrow{OP_1}, \overrightarrow{OP_2}, \overrightarrow{OP_3}\right)\right| = \frac{1}{6}\left|\begin{vmatrix} 14 & 0 & 0 \\ 0 & -7 & 0 \\ 0 & 0 & 14 \end{vmatrix}\right| = \frac{1}{6} \cdot 1372 = \frac{686}{3} \text{ u}^3 \approx 228{,}67 \text{ u}^3

(Es lo mismo que

\frac{1}{6} \cdot 14 \cdot 7 \cdot 14

: las tres aristas sobre los ejes son perpendiculares entre sí.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El plano perpendicular a $r$ por $A$ sirve dos veces: para hallar la proyección en a) y como cara del tetraedro en b). Si lo calculas bien en a), b) es casi inmediato.

Las longitudes de las aristas son distancias: aunque el plano corte al eje $Y$ en $y = -7$ , la arista mide $7$ . Con el determinante, el valor absoluto se encarga del signo.