Derivadas y aplicaciones

a) $f$ es un polinomio, derivable en todo $\mathbb{R}$:$$f'(x) = 4x^3 - 4 = 4(x - 1)(x^2 + x + 1)$$El factor $x^2 + x + 1$ no se anula nunca (su discriminante es $1 - 4 < 0$) y es siempre positivo, así que $f'$ tiene el signo de $x - 1$:

• Si $x < 1$, $f'(x) < 0$: $f$ es decreciente en $(-\infty, 1)$.
• Si $x > 1$, $f'(x) > 0$: $f$ es creciente en $(1, +\infty)$.

Por tanto $f$ tiene un mínimo relativo en $x = 1$, con $f(1) = 1 - 4 - 1 = -4$, y no tiene máximos relativos.

b) $f$ es continua en $[0, 2]$ por ser polinómica, y$$f(0) = -1 < 0, \qquad f(2) = 16 - 8 - 1 = 7 > 0$$Por el teorema de Bolzano existe $c_1 \in (0, 2)$ con $f(c_1) = 0$.

c) Al menos dos raíces. Además de $c_1$, como $f(-1) = 1 + 4 - 1 = 4 > 0$ y $f(0) = -1 < 0$, Bolzano en $[-1, 0]$ da otra raíz $c_2 \in (-1, 0)$.

Como mucho dos. En $(-\infty, 1)$ la función es estrictamente decreciente, así que corta al eje $X$ a lo sumo una vez; lo mismo en $(1, +\infty)$, donde es estrictamente creciente. Y en $x = 1$ no se anula, porque $f(1) = -4$.

Así que la ecuación tiene exactamente dos raíces reales: $c_2 \in (-1, 0)$ y $c_1 \in (1, 2)$ (en realidad $c_1 > 1$, porque $f(1) < 0$).

d) Puntos de corte con la recta $y = -4x$:$$x^4 - 4x - 1 = -4x \;\Longrightarrow\; x^4 = 1 \;\Longrightarrow\; x = \pm 1$$Qué va por encima. La diferencia es$$-4x - f(x) = -4x - x^4 + 4x + 1 = 1 - x^4$$que es positiva en $(-1, 1)$ (por ejemplo, en $x = 0$ vale 1): la recta va por encima de la curva. El área es$$A = \int_{-1}^{1} (1 - x^4)\,dx = \left[x - \frac{x^5}{5}\right]_{-1}^{1} = \left(1 - \frac{1}{5}\right) - \left(-1 + \frac{1}{5}\right) = \frac{4}{5} + \frac{4}{5} = \frac{8}{5}$$