Matemáticas IIMedio2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Comunidad de Madrid · 2023 · Julio (coincidentes)

Enunciado

Una empresa conservera fabrica latas de macedonia de frutas (melocotón, pera y piña) de

1

kg. Las latas contienen

750

gramos de fruta y el resto es agua y azúcar. Si la empresa utiliza la misma cantidad de todas las frutas, el coste en fruta por lata para la conservera es de

1{,}8

euros y, si utiliza

0{,}25

kg de melocotón y

100

gramos más de piña que de pera, el coste en fruta por lata es de

1{,}9

euros. Si la empresa paga

18\,000

euros por un lote compuesto de

3000

kg de melocotón,

3000

kg de pera y

2000

kg de piña, calcule el coste para la empresa de cada kg de melocotón, de pera y de piña.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{Melocotón: } 2 \text{ euros/kg}, \qquad \text{pera: } 1{,}6 \text{ euros/kg}, \qquad \text{piña: } 3{,}6 \text{ euros/kg}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Las incógnitas son los precios por kilo de cada fruta. Cada una de las tres situaciones del enunciado da una ecuación de la forma «kilos × precio por kilo = coste».

La única ecuación que pide un cálculo previo es la segunda: hay que averiguar cuánta pera y cuánta piña lleva la lata sabiendo que en total son

0{,}75

kg de fruta,

0{,}25

de melocotón y

0{,}1

kg más de piña que de pera. Conviene trabajar todo en kilos.

Desarrollo

Incógnitas. Sean

x

y

z

los precios en euros por kg de melocotón, pera y piña.

Primera condición. Con la misma cantidad de cada fruta, cada una pesa

0{,}75 / 3 = 0{,}25

kg:

0{,}25x + 0{,}25y + 0{,}25z = 1{,}8 \;\Longrightarrow\; x + y + z = 7{,}2

Segunda condición. Si la pera pesa

p

kg, la piña pesa

p + 0{,}1

kg y

0{,}25 + p + (p + 0{,}1) = 0{,}75 \;\Longrightarrow\; 2p = 0{,}4 \;\Longrightarrow\; p = 0{,}2

Así que la lata lleva

0{,}25

kg de melocotón,

0{,}2

kg de pera y

0{,}3

kg de piña:

0{,}25x + 0{,}2y + 0{,}3z = 1{,}9 \;\Longrightarrow\; 5x + 4y + 6z = 38

Tercera condición.

3000x + 3000y + 2000z = 18\,000 \;\Longrightarrow\; 3x + 3y + 2z = 18

Resolución.

\left\{\begin{array}{rcl} x + y + z & = & 7{,}2 \\ 5x + 4y + 6z & = & 38 \\ 3x + 3y + 2z & = & 18 \end{array}\right.

Multiplicando la primera por 3 y restándole la tercera:

3z - 2z = 21{,}6 - 18

, luego

z = 3{,}6

.

Entonces

x + y = 3{,}6

5x + 4y = 38 - 6 \cdot 3{,}6 = 16{,}4

. Restando a esta última cuatro veces la anterior:

x = 16{,}4 - 14{,}4 = 2

, y

y = 3{,}6 - 2 = 1{,}6

.

El determinante de la matriz de coeficientes es

\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 5 & 4 & 6 \\ 3 & 3 & 2 \end{vmatrix} = 1 \neq 0

, así que el sistema es compatible determinado y la solución es única.

Comprobación.

$0{,}25(2 + 1{,}6 + 3{,}6) = 0{,}25 \cdot 7{,}2 = 1{,}8$ € ✓
$0{,}25 \cdot 2 + 0{,}2 \cdot 1{,}6 + 0{,}3 \cdot 3{,}6 = 0{,}5 + 0{,}32 + 1{,}08 = 1{,}9$ € ✓
$3000 \cdot 2 + 3000 \cdot 1{,}6 + 2000 \cdot 3{,}6 = 6000 + 4800 + 7200 = 18\,000$ € ✓

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Pasa todas las cantidades a la misma unidad antes de plantear: mezclar gramos y kilos ( $100$ g con $0{,}25$ kg) es el error más frecuente en este tipo de problemas.

La corrección da 0,5 puntos por cada ecuación bien planteada: si la segunda se te atasca, escribe al menos la primera y la tercera, que son directas.