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Probabilidad

Comunidad de Madrid · 2023 · Julio (coincidentes)

Enunciado

Se tiene un dado de nueve caras numeradas con los números del

2

10

, cada uno con igual probabilidad de salir al lanzar el dado.

a) (0,5 puntos) Si se lanza una vez el dado, calcule la probabilidad del suceso «el resultado es un número primo».

b) (1 punto) Se lanza el dado dos veces consecutivas y se suman los resultados. Calcule la probabilidad de que la suma sea par.

c) (1 punto) Se lanza el dado dos veces consecutivas y la suma de los dos resultados es impar. Calcule la probabilidad de que el resultado del primer lanzamiento haya sido primo.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) } \frac{4}{9} \qquad \text{b) } \frac{41}{81} \qquad \text{c) } \frac{19}{40}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Todo se resuelve con la regla de Laplace, porque los resultados son equiprobables:

9

al lanzar una vez y

9 \cdot 9 = 81

parejas ordenadas al lanzar dos veces.

La clave es clasificar las caras por paridad: pares

\{2, 4, 6, 8, 10\}

(cinco) e impares

\{3, 5, 7, 9\}

(cuatro). Una suma es par si los dos sumandos tienen la misma paridad e impar si la tienen distinta.

En c) sabemos que la suma fue impar: es una probabilidad condicionada, así que restringimos el espacio muestral a las parejas con suma impar y contamos, dentro de ellas, las que empiezan por un primo. Ojo: el

2

es primo y par, y se comporta distinto que los primos impares.

Desarrollo

a) Los primos entre 2 y 10 son

\{2, 3, 5, 7\}

: cuatro casos favorables de nueve.

P(\text{primo}) = \frac{4}{9}

b) La suma es par si las dos tiradas son pares o las dos impares. Contando parejas ordenadas:

\underbrace{5 \cdot 5}_{\text{par, par}} + \underbrace{4 \cdot 4}_{\text{impar, impar}} = 25 + 16 = 41 \qquad \Longrightarrow \qquad P(\text{suma par}) = \frac{41}{81}

c) Sea

I

= «la suma es impar» y

Pr

= «el primer resultado es primo». La suma es impar si una tirada es par y la otra impar:

|I| = \underbrace{5 \cdot 4}_{\text{par, impar}} + \underbrace{4 \cdot 5}_{\text{impar, par}} = 40

(y, en efecto,

40 = 81 - 41

). Entre esas 40 parejas, las que empiezan por un primo son:

Primera tirada $2$ (par): la segunda tiene que ser impar, $4$ parejas.
Primera tirada $3$ , $5$ o $7$ (impares): la segunda tiene que ser par, $3 \cdot 5 = 15$ parejas.

En total,

4 + 15 = 19

. Por tanto

P(Pr \mid I) = \frac{|Pr \cap I|}{|I|} = \frac{19}{40} = 0{,}475

Comprobación con la fórmula de Bayes.

P(I \mid Pr) = \frac{1}{4}\cdot\frac{4}{9} + \frac{3}{4}\cdot\frac{5}{9} = \frac{19}{36}

, así que

P(Pr \mid I) = \dfrac{\frac{4}{9}\cdot\frac{19}{36}}{\frac{40}{81}} = \dfrac{19/81}{40/81} = \dfrac{19}{40}

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El dado no va del 1 al 9 sino del 2 al 10: hay cinco caras pares y cuatro impares, no al revés. Equivocarse ahí arrastra el error a b) y c).

En c) no olvides que el 2 es primo y es par: con un 2 en la primera tirada la suma impar exige un impar después, al contrario que con 3, 5 y 7.

Paso 1 de 3

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