Consideremos las rectas r \equiv \frac{x}{1} = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z - 2}{1}, \qquad s \equiv \left\{\begin{array}{l} x + 2z = 1 \\ y - z = 1 \end{array}\right. a) (1 punto) Determine la posición relativa de las rectas r y s, y calcule su intersección si existe. b) (1 punto) Calcule una ecuación del plano que contiene a r y s. c) (0,5 puntos) Indique el ángulo que forman las rectas r y s.

Matemáticas IIFácil2,5 pts

Rectas y planos

También trata: Vectores y ángulos

Comunidad de Madrid · 2023 · Julio (coincidentes)

Enunciado

Consideremos las rectas

r \equiv \frac{x}{1} = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z - 2}{1}, \qquad s \equiv \left\{\begin{array}{l} x + 2z = 1 \\ y - z = 1 \end{array}\right.

a) (1 punto) Determine la posición relativa de las rectas

r

s

, y calcule su intersección si existe.

b) (1 punto) Calcule una ecuación del plano que contiene a

r

s

.

c) (0,5 puntos) Indique el ángulo que forman las rectas

r

s

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Resultado

\boxed{\text{a) Se cortan en } Q(-1, 2, 1) \qquad \text{b) } 2x + 3y + z - 5 = 0 \qquad \text{c) } \alpha = \arccos\tfrac{\sqrt{2}}{3} \approx 61{,}87^\circ}

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Estrategia

La recta

r

viene en forma continua: de ahí se leen un punto y un vector director, y conviene pasarla a paramétricas. La recta

s

viene como corte de dos planos: su vector director es el producto vectorial de los dos vectores normales.

En a), como

r

está en paramétricas, basta con sustituir su punto genérico en las dos ecuaciones de

s

: si hay un valor del parámetro que cumple las dos, las rectas se cortan. En b), dos rectas secantes determinan un plano: su normal es el producto vectorial de los dos directores. En c), el ángulo entre dos rectas es el de sus directores, tomando el valor absoluto del producto escalar para quedarnos con el agudo.

Desarrollo

Datos de las rectas. De la forma continua,

r

pasa por

P_r(0, 1, 2)

con director

\vec{u} = (1, -1, 1)

r \equiv \left\{\begin{array}{l} x = \lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = 2 + \lambda \end{array}\right. \qquad \lambda \in \mathbb{R}

Para

s

, los normales de los dos planos son

(1, 0, 2)

(0, 1, -1)

\vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = (0 - 2)\,\vec{i} - (-1 - 0)\,\vec{j} + (1 - 0)\,\vec{k} = (-2,\ 1,\ 1)

a) Sustituimos el punto genérico de

r

en las ecuaciones de

s

\left\{\begin{array}{l} \lambda + 2(2 + \lambda) = 1 \;\Longrightarrow\; 3\lambda = -3 \;\Longrightarrow\; \lambda = -1 \\ (1 - \lambda) - (2 + \lambda) = 1 \;\Longrightarrow\; -2\lambda = 2 \;\Longrightarrow\; \lambda = -1 \end{array}\right.

Las dos ecuaciones dan el mismo valor, así que hay un único punto común: las rectas se cortan (sus directores

(1, -1, 1)

(-2, 1, 1)

no son proporcionales, así que no pueden ser paralelas ni coincidentes). Con

\lambda = -1

r \cap s = \{Q(-1,\ 2,\ 1)\}

Comprobación.

Q

está en

s

-1 + 2 \cdot 1 = 1

✓ y

2 - 1 = 1

✓.

b) El plano que contiene a las dos rectas pasa por

Q

y tiene como normal un vector perpendicular a

\vec{u}

y a

\vec{v}

\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (-1 - 1)\,\vec{i} - (1 + 2)\,\vec{j} + (1 - 2)\,\vec{k} = (-2,\ -3,\ -1)

Tomamos

\vec{n} = (2, 3, 1)

. El plano por

Q(-1, 2, 1)

2(x + 1) + 3(y - 2) + (z - 1) = 0 \;\Longrightarrow\; \pi \equiv 2x + 3y + z - 5 = 0

Comprobación.

P_r(0, 1, 2)

0 + 3 + 2 - 5 = 0

✓. Otro punto de

s

(1, 1, 0)

(con

z = 0

2 + 3 + 0 - 5 = 0

✓.

c) El ángulo

\alpha

entre las rectas es el que forman sus directores:

\cos\alpha = \frac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|} = \frac{|-2 - 1 + 1|}{\sqrt{3}\,\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{18}} = \frac{2}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{3}

\alpha = \arccos\frac{\sqrt{2}}{3} \approx 61{,}87^\circ

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Si una recta está en paramétricas y la otra como corte de planos, no hace falta pasar las dos a la misma forma: sustituir la paramétrica en los planos resuelve la posición relativa y da el punto de corte a la vez.

En c) usa el valor absoluto del producto escalar: el ángulo entre dos rectas está entre $0^\circ$ y $90^\circ$ . Sin él, con otro director de signo contrario saldría el suplementario.