Matemáticas IIMedio2,5 pts

Optimización

Comunidad de Madrid · 2023 · Julio (coincidentes)

Enunciado

Se quiere construir un depósito de barro cilíndrico de volumen

432\pi

^3

para elaborar un vino artesanal usando técnicas antiguas. El depósito se sitúa verticalmente, apoyado sobre su base circular. Se sabe que al utilizar ese material poroso se produce, con el tiempo, una pérdida de líquido a través de la superficie que está en contacto con el vino. Dicha pérdida a través de la pared lateral es de

10

cl por dm

^2

y a través del suelo de

20

cl por dm

^2

.

Calcular las dimensiones que debe tener el depósito para que la filtración de vino sea mínima.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{r = 6 \text{ dm}, \qquad h = 12 \text{ dm}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es un problema de optimización con dos variables, el radio

r

y la altura

h

del cilindro (en dm). Hay que:

Escribir la pérdida total en función de $r$ y $h$ : la superficie en contacto con el vino es la pared lateral ( $2\pi r h$ ) y el suelo ( $\pi r^2$ ); la tapa no cuenta, porque el vino no la toca.
Usar el volumen fijo para dejar la función en una sola variable.
Derivar, igualar a cero y justificar que el punto crítico es un mínimo.

Desarrollo

Función que hay que minimizar. Con

r

h

en dm, la pérdida (en cl) es

P(r, h) = 10 \cdot 2\pi r h + 20 \cdot \pi r^2 = 20\pi r h + 20\pi r^2

Relación entre las variables. El volumen es fijo:

\pi r^2 h = 432\pi \;\Longrightarrow\; h = \frac{432}{r^2}

Sustituyendo, la pérdida depende solo del radio:

P(r) = 20\pi r \cdot \frac{432}{r^2} + 20\pi r^2 = 20\pi\left(\frac{432}{r} + r^2\right), \qquad r > 0

Es continua y derivable en

(0, +\infty)

.

Punto crítico.

P'(r) = 20\pi\left(-\frac{432}{r^2} + 2r\right) = 0 \;\Longrightarrow\; 2r^3 = 432 \;\Longrightarrow\; r^3 = 216 \;\Longrightarrow\; r = 6

Es un mínimo. La derivada segunda es

P''(r) = 20\pi\left(\frac{864}{r^3} + 2\right) > 0 \quad \text{para todo } r > 0

así que en

r = 6

hay un mínimo relativo. Además,

P'(r) < 0

para

0 < r < 6

P'(r) > 0

para

r > 6

: la función decrece y luego crece, de modo que ese mínimo es el mínimo absoluto en

(0, +\infty)

.

Dimensiones. Con

r = 6

dm:

h = \frac{432}{36} = 12 \text{ dm}

La pérdida mínima es

P(6) = 20\pi(72 + 36) = 2160\pi \approx 6786

cl, unos

67{,}9

litros.

Comprobación.

\pi \cdot 6^2 \cdot 12 = 432\pi

^3

✓. Observa que la altura es el doble del radio, es decir, igual al diámetro.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Lee con cuidado qué superficie pierde vino: un depósito apoyado en el suelo y sin tapa en contacto con el líquido tiene pared lateral y una sola base. Poner dos bases o el mismo coeficiente para pared y suelo cambia la función y el resultado.

La corrección quita 0,25 puntos si no se justifica que el punto crítico es un mínimo: basta con el signo de $P''$ o con el de $P'$ a cada lado de $r = 6$ .

Paso 1 de 3

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