Matemáticas IIMedio2,5 pts

Matrices

Comunidad de Madrid · 2023 · Julio (coincidentes)

Enunciado

Se consideran las matrices

A = \begin{pmatrix} a & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ b + c & 2 \end{pmatrix}

C = \begin{pmatrix} c & 2a + 4 \\ 4b + 4c + 2 & 11 \end{pmatrix}

. Determine los valores de

a

b

c

sabiendo que dichas matrices verifican simultáneamente estas tres condiciones:

la matriz $AB$ es simétrica, es decir, coincide con su traspuesta.
la matriz $A + B$ no tiene inversa.
la matriz $AB - C$ es igual a la matriz identidad.

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Resultado

\boxed{a = 1, \qquad b = -1, \qquad c = 2}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cada condición se traduce en una o varias ecuaciones con

a

b

c

. Primero se calculan las matrices que intervienen,

AB

A + B

, y después:

$AB$ simétrica: los dos elementos fuera de la diagonal son iguales.
$A + B$ sin inversa: su determinante vale 0.
$AB - C = I$ : se igualan los cuatro elementos; algunos se cumplen solos y otros dan ecuaciones.

Sale un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas que se resuelve por reducción.

Desarrollo

Operaciones previas.

AB = \begin{pmatrix} a & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ b + c & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + 2b + 2c & 2a + 4 \\ 2 + 4b + 4c & 12 \end{pmatrix}

A + B = \begin{pmatrix} a + 1 & 4 \\ b + c + 2 & 6 \end{pmatrix}

Primera condición: $AB = (AB)^t$ . Basta con que coincidan los elementos

(1,2)

(2,1)

2a + 4 = 4b + 4c + 2 \;\Longrightarrow\; a - 2b - 2c = -1

Segunda condición: $A + B$ no tiene inversa, es decir,

|A + B| = 0

|A + B| = 6(a + 1) - 4(b + c + 2) = 6a - 4b - 4c - 2 = 0 \;\Longrightarrow\; 3a - 2b - 2c = 1

Tercera condición: $AB - C = I$ .

AB - C = \begin{pmatrix} a + 2b + 2c - c & (2a + 4) - (2a + 4) \\ (4b + 4c + 2) - (4b + 4c + 2) & 12 - 11 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + 2b + c & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Los elementos

(1,2)

(2,1)

(2,2)

ya coinciden con los de la identidad; solo queda

a + 2b + c = 1

Resolución del sistema.

\left\{\begin{array}{rcl} a - 2b - 2c & = & -1 \\ 3a - 2b - 2c & = & 1 \\ a + 2b + c & = & 1 \end{array}\right.

Restando la primera ecuación a la segunda:

2a = 2

, luego

a = 1

. Sustituyendo en la primera,

-2b - 2c = -2

, es decir,

b + c = 1

. En la tercera,

1 + 2b + c = 1

, o sea

2b + c = 0

. Restando:

(2b + c) - (b + c) = b = -1

, y entonces

c = 2

.

Comprobación. Con

a = 1

b = -1

c = 2

b + c = 1

AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 6 & 12 \end{pmatrix} \ \text{(simétrica)}, \qquad A + B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 6 \end{pmatrix},\ \ |A + B| = 12 - 12 = 0

C = \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 6 & 11 \end{pmatrix}, \qquad AB - C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I \ \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

La tercera condición parece dar cuatro ecuaciones, pero tres de ellas se cumplen siempre: no te asustes si «sobran» igualdades del tipo $0 = 0$ o $1 = 1$ . Lo que cuenta es la del elemento $(1,1)$ .

Comprueba siempre la solución en las tres condiciones: un signo mal puesto al calcular $AB$ o $|A + B|$ da otro sistema compatible y otra solución que no cumple el enunciado.