Probabilidad

a) Sea $X$ = número de universitarios, de los 10, que necesitaron más de un intento. Entonces $X \sim B(10;\ 0{,}35)$ y$$P(X = 3) = \binom{10}{3}\,0{,}35^3 \cdot 0{,}65^7 = 120 \cdot 0{,}042875 \cdot 0{,}049022 \approx 0{,}2522$$(Es lo mismo que pedir que exactamente 7 aprobaran a la primera con $B(10;\ 0{,}65)$.)

b) "Alguno necesitó más de un intento" es el contrario de "todos aprobaron a la primera", es decir, de $X = 0$:$$P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}65^{10} \approx 1 - 0{,}0135 = 0{,}9865$$c) Sea ahora $Y$ = número de los 60 que aprobaron a la primera, $Y \sim B(60;\ 0{,}65)$. Sus parámetros:$$\mu = np = 60 \cdot 0{,}65 = 39, \qquad \sigma = \sqrt{npq} = \sqrt{60 \cdot 0{,}65 \cdot 0{,}35} = \sqrt{13{,}65} \approx 3{,}69$$Como $np = 39 \ge 5$ y $nq = 21 \ge 5$, la aproximación es válida: $Y \approx Y' \sim N(39;\ 3{,}69)$.

"Como mínimo la mitad" es $Y \ge 30$. La binomial solo toma valores enteros, y el valor 30 corresponde en la normal al intervalo $[29{,}5;\ 30{,}5]$, así que con la corrección por continuidad:$$P(Y \ge 30) \approx P(Y' \ge 29{,}5) = P\left(Z \ge \frac{29{,}5 - 39}{3{,}69}\right) = P(Z \ge -2{,}57)$$Por simetría de la normal:$$P(Z \ge -2{,}57) = P(Z \le 2{,}57) = 0{,}9949$$Tiene sentido que salga casi 1: la media esperada es 39, muy por encima de 30, y 30 está a más de dos desviaciones típicas por debajo.