Rectas y planos

Datos. Normal de $\pi$: $\vec{n}_\pi = (1, 3, 2)$. La recta $r$ tiene $x$ y $z$ fijas y la $y$ libre: $r \equiv (2,\ \lambda,\ 5)$, con $\vec{v}_r = (0, 1, 0)$. El eje $OZ$ es $(0,\ 0,\ \mu)$, con director $(0,0,1)$.

a) Recta perpendicular a $\pi$ por el origen: $(x, y, z) = (\lambda,\ 3\lambda,\ 2\lambda)$. Sustituyendo en $\pi$:$$\lambda + 9\lambda + 4\lambda + 14 = 0 \;\Longrightarrow\; 14\lambda = -14 \;\Longrightarrow\; \lambda = -1$$El punto más próximo es $H(-1,\ -3,\ -2)$. Comprobación: $-1 - 9 - 4 + 14 = 0$ ✓. Es el más próximo porque, para cualquier otro punto $X$ de $\pi$, el triángulo $OHX$ es rectángulo en $H$ y $OX$ es la hipotenusa. La distancia es $|\overrightarrow{OH}| = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}$, que coincide con $d(O, \pi) = \frac{14}{\sqrt{14}}$ ✓.

b) El eje $OZ$ no es perpendicular a $\pi$ (pues $(0,0,1)$ no es proporcional a $(1,3,2)$), así que su proyección es una recta. Proyectamos dos puntos del eje:

• Corte de $OZ$ con $\pi$: $0 + 0 + 2\mu + 14 = 0 \Rightarrow \mu = -7$, punto $Q(0,\ 0,\ -7)$. Al estar en el plano, se proyecta en sí mismo.
• El origen, que según a) se proyecta en $H(-1,\ -3,\ -2)$.

La proyección es la recta que pasa por $Q$ y $H$, con director $\overrightarrow{QH} = (-1,\ -3,\ 5)$, o mejor $(1,\ 3,\ -5)$:$$p \equiv (x, y, z) = (\lambda,\ 3\lambda,\ -7 - 5\lambda), \quad \lambda \in \mathbb{R}$$Comprobaciones: el director está en el plano, $(1,3,-5)\cdot(1,3,2) = 1 + 9 - 10 = 0$ ✓; con $\lambda = -1$ se obtiene $H$ ✓.

Otra forma de verlo: $p$ es la intersección de $\pi$ con el plano que contiene a $OZ$ y es perpendicular a $\pi$, de normal $(0,0,1) \times (1,3,2) = (-3,\ 1,\ 0)$, es decir, $3x - y = 0$. Así, $p \equiv \left\{\begin{array}{l} x + 3y + 2z + 14 = 0 \\ 3x - y = 0 \end{array}\right.$, que es la misma recta.

c) Sea $t$ la recta buscada.

• $t \perp r \Rightarrow \vec{v}_t \perp \vec{v}_r$.
• $t \subset \pi \Rightarrow \vec{v}_t \perp \vec{n}_\pi$.

Por tanto:$$\vec{v}_t = \vec{v}_r \times \vec{n}_\pi = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = (2 - 0)\,\vec{i} - (0 - 0)\,\vec{j} + (0 - 1)\,\vec{k} = (2,\ 0,\ -1)$$Como $t$ está en $\pi$ y corta al eje $OZ$, el punto de corte pertenece a $\pi \cap OZ = \{Q(0,0,-7)\}$. Así que $t$ pasa por $Q$:$$t \equiv (x, y, z) = (2\lambda,\ 0,\ -7 - \lambda), \quad \lambda \in \mathbb{R}$$Comprobaciones: cualquier punto de $t$ cumple $2\lambda + 0 + 2(-7 - \lambda) + 14 = 0$ ✓, luego $t \subset \pi$; $\vec{v}_t \cdot \vec{v}_r = 0$ ✓; con $\lambda = 0$ se obtiene $Q \in OZ$ ✓.

En la simulación, $r$ es el eje $OZ$, $s$ su proyección $p$ y $P$ el origen: