Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Comunidad de Madrid · 2023 · Julio

Enunciado

Dado el sistema

\left\{\begin{array}{rcl} -2x + y + kz & = & 1 \\ kx - y - z & = & 0 \\ -y + (k-1)z & = & 3 \end{array}\right.

, se pide:

a) (1,25 puntos) Discutirlo en función del parámetro

k

.

b) (0,5 puntos) Resolverlo para

k = 3

.

c) (0,75 puntos) Resolverlo para

k = 3/2

y especificar, si es posible, una solución particular con

x = 2

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ k \neq 0, \tfrac{3}{2}: \text{SCD};\ k = 0: \text{SI};\ k = \tfrac{3}{2}: \text{SCI}}

\boxed{\text{b)}\ \left(-\tfrac{1}{3},\ -\tfrac{5}{3},\ \tfrac{2}{3}\right) \qquad \text{c)}\ \left(\lambda,\ \tfrac{\lambda}{2} - 2,\ \lambda + 2\right);\ x = 2: (2, -1, 4)}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Discusión clásica con Rouché-Frobenius. El sistema es cuadrado (

3\times 3

), así que empezamos por el determinante de la matriz de coeficientes: donde no se anula, el sistema es compatible determinado. Los valores que lo anulan se estudian uno por uno, comparando el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada.

Para resolver, en lugar de Cramer conviene aprovechar la tercera ecuación, que no tiene

x

: despejamos

y

en función de

z

y sustituimos.

Desarrollo

Matriz de coeficientes y ampliada:

A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & k \\ k & -1 & -1 \\ 0 & -1 & k-1 \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -2 & 1 & k & 1 \\ k & -1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & k-1 & 3 \end{array}\right)

a) Desarrollando por la primera columna:

|A| = -2\begin{vmatrix} -1 & -1 \\ -1 & k-1 \end{vmatrix} - k\begin{vmatrix} 1 & k \\ -1 & k-1 \end{vmatrix} = -2\bigl(-(k-1) - 1\bigr) - k\bigl((k-1) + k\bigr)

= -2(-k) - k(2k - 1) = 2k - 2k^2 + k = 3k - 2k^2 = k(3 - 2k)

Se anula para

k = 0

y para

k = \frac{3}{2}

Si $k \neq 0$ y $k \neq \frac{3}{2}$ : $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 3 =$ número de incógnitas. Sistema compatible determinado.

Si $k = 0$ : el sistema queda

\left\{\begin{array}{rcl} -2x + y & = & 1 \\ -y - z & = & 0 \\ -y - z & = & 3 \end{array}\right.

Las dos últimas ecuaciones tienen el mismo primer miembro y distinto término independiente (

0 \neq 3

): son contradictorias. Formalmente,

\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = 2 \neq 0

\operatorname{rg}(A) = 2

, y el menor de

A^*

con las columnas 1, 2 y 4

\begin{vmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 3 \end{vmatrix} = -2\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = -2(-3) = 6 \neq 0

\operatorname{rg}(A^*) = 3

. Como

\operatorname{rg}(A) \neq \operatorname{rg}(A^*)

, sistema incompatible.

Si $k = \frac{3}{2}$ : el menor $\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1 \end{vmatrix} = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2} \neq 0$ da $\operatorname{rg}(A) = 2$ . Para la ampliada orlamos ese menor con la tercera fila: con la tercera columna sale $|A| = 0$ , y con la columna de términos independientes

\begin{vmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 3/2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 3 \end{vmatrix} = -2(-3 - 0) - 1\left(\tfrac{9}{2} - 0\right) + 1\left(-\tfrac{3}{2} - 0\right) = 6 - \tfrac{9}{2} - \tfrac{3}{2} = 0

Todos los menores de orden 3 que orlan al de orden 2 se anulan, así que

\operatorname{rg}(A^*) = 2 = \operatorname{rg}(A) < 3

. Sistema compatible indeterminado (un parámetro).

b) Para

k = 3

(compatible determinado,

|A| = 9 - 18 = -9

\left\{\begin{array}{rcl} -2x + y + 3z & = & 1 \\ 3x - y - z & = & 0 \\ -y + 2z & = & 3 \end{array}\right.

De la tercera,

y = 2z - 3

. En la segunda,

3x = y + z = 3z - 3

, luego

x = z - 1

. En la primera:

-2(z - 1) + (2z - 3) + 3z = 1 \;\Longrightarrow\; 3z - 1 = 1 \;\Longrightarrow\; z = \frac{2}{3}

y entonces

x = -\frac{1}{3}

y = \frac{4}{3} - 3 = -\frac{5}{3}

.

Comprobación:

\frac{2}{3} - \frac{5}{3} + 2 = 1

✓;

-1 + \frac{5}{3} - \frac{2}{3} = 0

✓;

\frac{5}{3} + \frac{4}{3} = 3

✓.

c) Para

k = \frac{3}{2}

el sistema es compatible indeterminado y basta con dos ecuaciones independientes; la otra es combinación de ellas. Usamos la segunda y la tercera, cuyos coeficientes no son proporcionales:

\left\{\begin{array}{rcl} \tfrac{3}{2}x - y - z & = & 0 \\ -y + \tfrac{1}{2}z & = & 3 \end{array}\right.

Tomamos

x = \lambda

como parámetro. De la tercera,

y = \frac{1}{2}z - 3

; en la segunda:

\tfrac{3}{2}\lambda - \tfrac{1}{2}z + 3 - z = 0 \;\Longrightarrow\; \tfrac{3}{2}z = \tfrac{3}{2}\lambda + 3 \;\Longrightarrow\; z = \lambda + 2, \qquad y = \tfrac{\lambda}{2} - 2

(x,\ y,\ z) = \left(\lambda,\ \frac{\lambda}{2} - 2,\ \lambda + 2\right), \quad \lambda \in \mathbb{R}

Comprobación en la primera ecuación (la que no hemos usado):

-2\lambda + \frac{\lambda}{2} - 2 + \frac{3}{2}(\lambda + 2) = -2\lambda + 2\lambda - 2 + 3 = 1

✓.

Con

x = 2

, es decir

\lambda = 2

: $(2,\ -1,\ 4)$ . Comprobación:

-4 - 1 + 6 = 1

✓;

3 + 1 - 4 = 0

✓;

1 + 2 = 3

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En la discusión, la corrección da 0,25 por cada uno de los tres casos: no basta con hallar las raíces de $|A|$ , hay que estudiar el rango de la ampliada en $k = 0$ y en $k = 3/2$ por separado.

En c) comprueba la solución paramétrica en la ecuación que no has usado: si no se cumple para todo $\lambda$ , hay un error de cuentas (o el sistema no era compatible).