Sabiendo que P(A) = 0{,}5, P(A|B) = 0{,}625 y P(A \cup B) = 0{,}65, se pide calcular: a) (1,5 puntos) P(B) y P(A \cap B). b) (1 punto) P(A|A \cup B) y P(A \cap B|A \cup B).

Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Probabilidad

Comunidad de Madrid · 2023 · Julio

Enunciado

Sabiendo que

P(A) = 0{,}5

P(A|B) = 0{,}625

P(A \cup B) = 0{,}65

, se pide calcular:

a) (1,5 puntos)

P(B)

P(A \cap B)

.

b) (1 punto)

P(A|A \cup B)

P(A \cap B|A \cup B)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ P(B) = 0{,}4, \quad P(A \cap B) = 0{,}25}

\boxed{\text{b)}\ P(A|A \cup B) = \tfrac{10}{13} \approx 0{,}7692, \quad P(A \cap B|A \cup B) = \tfrac{5}{13} \approx 0{,}3846}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Tenemos dos incógnitas,

P(B)

P(A \cap B)

, y dos relaciones que las ligan: la definición de probabilidad condicionada y la fórmula de la unión. Escribimos las dos y resolvemos el sistema.

En b) el truco es fijarse en qué es la intersección del numerador:

A

está dentro de

A \cup B

, así que

A \cap (A \cup B) = A

; y lo mismo pasa con

A \cap B

. Con eso las dos condicionadas salen directamente.

Desarrollo

a) Por la definición de probabilidad condicionada:

P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \;\Longrightarrow\; P(A \cap B) = 0{,}625\,P(B)

Y por la probabilidad de la unión:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \;\Longrightarrow\; 0{,}65 = 0{,}5 + P(B) - 0{,}625\,P(B)

0{,}15 = 0{,}375\,P(B) \;\Longrightarrow\; P(B) = \frac{0{,}15}{0{,}375} = 0{,}4

P(A \cap B) = 0{,}625 \cdot 0{,}4 = 0{,}25

Comprobación:

0{,}5 + 0{,}4 - 0{,}25 = 0{,}65

✓ y

\frac{0{,}25}{0{,}4} = 0{,}625

✓.

b) Como

A \subset A \cup B

, se tiene

A \cap (A \cup B) = A

P(A|A \cup B) = \frac{P\bigl(A \cap (A \cup B)\bigr)}{P(A \cup B)} = \frac{P(A)}{P(A \cup B)} = \frac{0{,}5}{0{,}65} = \frac{10}{13} \approx 0{,}7692

Del mismo modo,

A \cap B \subset A \cup B

, así que

(A \cap B) \cap (A \cup B) = A \cap B

P(A \cap B|A \cup B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A \cup B)} = \frac{0{,}25}{0{,}65} = \frac{5}{13} \approx 0{,}3846

Las dos están entre 0 y 1 y la segunda es menor que la primera, como debe ser, porque

A \cap B \subset A

.

Si se toma la partición

\{A, \bar{A}\}

, los datos equivalen a

P(A) = 0{,}5

P(B|A) = \frac{0{,}25}{0{,}5} = 0{,}5

P(B|\bar{A}) = \frac{0{,}4 - 0{,}25}{0{,}5} = 0{,}3

; con ellos la simulación reproduce

P(A|B) = 0{,}625

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No confundas $P(A|B)$ con $P(A \cap B)$ : el dato $0{,}625$ es una condicionada y hay que pasar por $P(B)$ para llegar a la intersección.

En b) la corrección pide escribir el planteamiento de cada probabilidad. Justifica por qué $A \cap (A \cup B) = A$ (porque $A$ está contenido en la unión) en lugar de saltarte el paso.