Rectas y planos

a) Un punto pertenece a $\pi : z = 1$ si su tercera coordenada vale 1. $P(1,1,1)$: $z = 1$ ✓. $Q(0,0,1)$: $z = 1$ ✓. Ambos están en $\pi$ (y, por tanto, toda la recta $r$ está contenida en $\pi$).

Recta $r$. Su vector director es $\overrightarrow{QP} = (1, 1, 0)$ y pasa por $Q(0,0,1)$:$$r \equiv (x, y, z) = (\lambda,\ \lambda,\ 1), \quad \lambda \in \mathbb{R}$$b) Una recta paralela a $r$ tiene director $\vec{v}_r = (1, 1, 0)$. Para que esté contenida en $z = 0$ basta que pase por un punto de ese plano, porque su director tiene tercera componente nula y todos sus puntos conservan la misma $z$. Tomando el origen:$$t \equiv (x, y, z) = (\lambda,\ \lambda,\ 0), \quad \lambda \in \mathbb{R}$$Es la proyección de $r$ sobre $z = 0$. No es la única: vale cualquier $(a + \lambda,\ b + \lambda,\ 0)$.

c) Sea $s$ la recta buscada, con $P \in s$. Que su proyección ortogonal sobre $\pi$ sea $r$ significa que $s$ está en el plano $\sigma$ que contiene a $r$ y es perpendicular a $\pi$. Ese plano tiene como direcciones $\vec{v}_r = (1,1,0)$ y $\vec{n}_\pi = (0,0,1)$, y su normal es$$\vec{n}_\sigma = \vec{v}_r \times \vec{n}_\pi = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (1,\ -1,\ 0) \;\Longrightarrow\; \sigma \equiv x - y = 0$$(pasa por $Q(0,0,1)$). Por tanto, el director de $s$ es de la forma $\vec{v}_s = (1, 1, c)$ con $c \neq 0$ (con $c = 0$ sería la propia $r$).

Ángulo con $r$. El ángulo entre $s$ y $r$ ha de ser $\frac{\pi}{4}$:$$\cos\frac{\pi}{4} = \frac{|\vec{v}_s \cdot \vec{v}_r|}{|\vec{v}_s|\,|\vec{v}_r|} = \frac{|1 + 1 + 0|}{\sqrt{2 + c^2}\,\sqrt{2}} \;\Longrightarrow\; \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{\sqrt{2}\,\sqrt{2 + c^2}}$$$$\sqrt{2 + c^2} = 2 \;\Longrightarrow\; c^2 = 2 \;\Longrightarrow\; c = \pm\sqrt{2}$$Hay dos rectas, una que sube y otra que baja desde $P$:$$s_1 \equiv (x,y,z) = (1 + \lambda,\ 1 + \lambda,\ 1 + \sqrt{2}\,\lambda), \qquad s_2 \equiv (x,y,z) = (1 + \lambda,\ 1 + \lambda,\ 1 - \sqrt{2}\,\lambda), \quad \lambda \in \mathbb{R}$$Comprobaciones. Proyectar sobre $z = 1$ consiste en sustituir la $z$ por 1: $s_1$ y $s_2$ se proyectan en $(1+\lambda,\ 1+\lambda,\ 1)$, que es justo $r$ ✓. Ángulo: $|\vec{v}_s| = \sqrt{1 + 1 + 2} = 2$, $|\vec{v}_r| = \sqrt{2}$ y $\cos\alpha = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, o sea $\alpha = \frac{\pi}{4}$ ✓. Y como $r$ es la proyección de $s$, ese ángulo es también el que forma $s$ con el plano $\pi$.