Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Matrices

Comunidad de Madrid · 2023 · Julio

Enunciado

Dadas las matrices

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix} b & 0 \\ 1 & b \end{pmatrix}

, se pide:

a) (0,5 puntos) Calcular el determinante de

A^t A

.

b) (0,5 puntos) Calcular el rango de

BA

en función de

b

.

c) (0,75 puntos) Calcular

B^{-1}

para

b = 2

.

d) (0,75 puntos) Para

b = 1

, calcular

B^5

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ |A^tA| = 0 \qquad \text{b)}\ \operatorname{rg}(BA) = \begin{cases} 2 & b \neq 0 \\ 1 & b = 0 \end{cases}}

\boxed{\text{c)}\ B^{-1} = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ -1/4 & 1/2 \end{pmatrix} \qquad \text{d)}\ B^5 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Son cuatro apartados cortos de cálculo matricial. Lo primero es fijarse en las dimensiones:

A

2\times 3

, así que

A^t A

3\times 3

BA

2\times 3

.

En a) se puede predecir el resultado antes de calcular: el rango de un producto no supera el de sus factores y

A

tiene rango 2 como mucho, así que

A^tA

(de orden 3) tiene rango

\le 2

y su determinante tiene que ser 0. Aun así hay que hacer la cuenta.

En b) el rango de una matriz

2\times 3

es 2 si algún menor de orden 2 no se anula; buscamos un menor sencillo que dependa de

b

y estudiamos cuándo se anula.

En c) la inversa de una

2\times 2

sale con la fórmula de la adjunta. En d) calculamos las primeras potencias, vemos el patrón y lo confirmamos.

Desarrollo

a) La traspuesta de

A

cambia filas por columnas:

A^t = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, \qquad A^tA = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 4 \end{pmatrix}

Cada elemento

(i,j)

es el producto escalar de las columnas

i

j

A

: por ejemplo,

(2,-1)\cdot(2,-1) = 5

(2,-1)\cdot(0,2) = -2

. Desarrollando por la segunda fila, que tiene un cero:

|A^tA| = -2\begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} + 1\begin{vmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 4 \end{vmatrix} - 0 = -2\cdot 8 + (20 - 4) = -16 + 16 = 0

Como se esperaba:

\operatorname{rg}(A^tA) \le \operatorname{rg}(A) \le 2 < 3

.

b) Multiplicamos:

BA = \begin{pmatrix} b & 0 \\ 1 & b \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2b & b & 0 \\ 2 - b & 1 & 2b \end{pmatrix}

El menor formado por las dos últimas columnas es

\begin{vmatrix} b & 0 \\ 1 & 2b \end{vmatrix} = 2b^2

Si $b \neq 0$ , ese menor no se anula y $\operatorname{rg}(BA) = 2$ (es el máximo posible en una matriz con dos filas).
Si $b = 0$ , $BA = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ : la primera fila es nula y la segunda no, así que $\operatorname{rg}(BA) = 1$ .

c) Para

b = 2

B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}

|B| = 4 \neq 0

, luego tiene inversa:

B^{-1} = \frac{1}{|B|}\,(\operatorname{Adj} B)^t = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ -1/4 & 1/2 \end{pmatrix}

Comprobación:

\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ -1/4 & 1/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1/2 - 1/2 & 1 \end{pmatrix} = I

✓.

d) Para

b = 1

B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

. Las primeras potencias:

B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B^3 = B^2 B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}

El patrón es

B^n = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ n & 1 \end{pmatrix}

, y se mantiene al pasar de

n

n+1

\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ n & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ n+1 & 1 \end{pmatrix}

. Por tanto

B^5 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}

Comprobación sin el patrón:

B^5 = (B^2)^2 B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El fallo más común es multiplicar en el orden equivocado o con dimensiones que no casan: $A^tA$ es $3\times 3$ , mientras que $AA^t$ sería $2\times 2$ (y con determinante distinto de 0).

En b) no basta con dar el rango para $b \neq 0$ : la corrección reparte la nota entre la matriz y el rango, y el caso $b = 0$ hay que estudiarlo aparte con la matriz ya sustituida.