Matemáticas IIFácil2 pts

Probabilidad

Extremadura · 2023 · Junio

Enunciado

Durante el día de hoy una persona va a escribir 15 mensajes en Facebook. Cada mensaje que escribe tiene errores ortográficos con una probabilidad de

0{,}3

. Calcular:

a) (0,75 puntos) La probabilidad de que escriba exactamente 5 mensajes con errores ortográficos.

b) (0,75 puntos) La probabilidad de que escriba 4 o más mensajes con errores.

c) (0,5 puntos) La media y la desviación típica de la distribución.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;X \sim B(15;\ 0{,}3)\qquad \text{a) } P(X = 5) \approx 0{,}2061 \qquad \text{b) } P(X \geq 4) \approx 0{,}7031\;}

\boxed{\;\text{c) } \mu = 4{,}5;\quad \sigma = \sqrt{3{,}15} \approx 1{,}7748\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cada mensaje es un ensayo con dos resultados (tiene errores o no), la probabilidad de error es la misma,

0{,}3

, en todos y los mensajes son independientes: el número de mensajes con errores sigue una binomial

B(15;\ 0{,}3)

. En a) se aplica la fórmula directamente; en b), «4 o más» tiene doce términos, así que conviene pasar al complementario («3 o menos», cuatro términos). En c),

\mu = np

\sigma = \sqrt{np(1-p)}

Desarrollo

Sea

X

= «número de mensajes con errores ortográficos de los 15». Entonces

X \sim B(n = 15;\ p = 0{,}3), \qquad P(X = k) = \binom{15}{k}\,0{,}3^{k}\,0{,}7^{15-k}, \quad k = 0, 1, \dots, 15

P(X = 5) = \binom{15}{5}\,0{,}3^5\,0{,}7^{10} = 3003\cdot 0{,}00243\cdot 0{,}0282475 \approx 0{,}2061

b) Por el complementario:

P(X \geq 4) = 1 - P(X \leq 3) = 1 - \bigl[P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)\bigr]

P(X = 0) = 0{,}7^{15} \approx 0{,}00475

P(X = 1) = 15\cdot 0{,}3\cdot 0{,}7^{14} \approx 0{,}03052

P(X = 2) = 105\cdot 0{,}3^2\cdot 0{,}7^{13} \approx 0{,}09156

P(X = 3) = 455\cdot 0{,}3^3\cdot 0{,}7^{12} \approx 0{,}17004

P(X \leq 3) \approx 0{,}00475 + 0{,}03052 + 0{,}09156 + 0{,}17004 = 0{,}29687

P(X \geq 4) \approx 1 - 0{,}29687 = 0{,}7031

(Con la tabla de la binomial para

n = 15

p = 0{,}3

se leen los mismos cuatro valores.)

c)

\mu = np = 15\cdot 0{,}3 = 4{,}5 \text{ mensajes}

\sigma = \sqrt{np(1 - p)} = \sqrt{15\cdot 0{,}3\cdot 0{,}7} = \sqrt{3{,}15} \approx 1{,}7748

Comprobación de sentido. La media es

4{,}5

, así que es lógico que «4 o más» sea bastante probable (alrededor del

70\ \%

) y que el valor 5, cercano a la media, sea de los más probables (cerca del

21\ \%

Consejo

Empieza siempre diciendo qué es $X$ y que es una $B(n, p)$ con sus valores: es parte de la puntuación. «4 o más» se calcula por el complementario, y el complementario de $X \geq 4$ es $X \leq 3$ , no $X \leq 4$ .

La desviación típica lleva raíz: $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$ . Dar $np(1-p) = 3{,}15$ es la varianza, no la desviación típica.