Matemáticas IIFácil2 pts

Probabilidad

Extremadura · 2023 · Junio

Enunciado

80\ \%

de los alumnos de una clase les gusta el fútbol; al

40\ \%

les gusta el balonmano y al

30\ \%

les gustan ambos deportes. Si se elige un alumno al azar,

a) (0,5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste alguno de los dos deportes (uno o los dos)?

b) (0,75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste solo el fútbol?

c) (0,75 puntos) Si sabemos que no le gusta el fútbol, ¿cuál es la probabilidad de que le guste el balonmano?

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Resultado

\boxed{\;\text{a) } P(F \cup B) = 0{,}9 \qquad \text{b) } P(F \cap \overline{B}) = 0{,}5 \qquad \text{c) } P(B \mid \overline{F}) = 0{,}5\;}

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Estrategia

Definimos los sucesos

F

= «le gusta el fútbol» y

B

= «le gusta el balonmano», con

P(F) = 0{,}8

P(B) = 0{,}4

P(F \cap B) = 0{,}3

. Con esos tres datos se rellena una tabla de doble entrada y todo lo demás sale de ella: «alguno» es la unión, «solo el fútbol» es

F \cap \overline{B}

y c) es una probabilidad condicionada.

Desarrollo

Completamos la tabla de probabilidades (cada fila y cada columna suma su total):

	$B$	$\overline{B}$	Total
$F$	$0{,}3$	$0{,}5$	$0{,}8$
$\overline{F}$	$0{,}1$	$0{,}1$	$0{,}2$
Total	$0{,}4$	$0{,}6$	$1$

a) «Alguno de los dos» es la unión:

P(F \cup B) = P(F) + P(B) - P(F \cap B) = 0{,}8 + 0{,}4 - 0{,}3 = 0{,}9

b) «Solo el fútbol» es que le guste el fútbol y no el balonmano:

P(F \cap \overline{B}) = P(F) - P(F \cap B) = 0{,}8 - 0{,}3 = 0{,}5

c) Probabilidad condicionada a

\overline{F}

P(B \mid \overline{F}) = \frac{P(B \cap \overline{F})}{P(\overline{F})} = \frac{P(B) - P(F \cap B)}{1 - P(F)} = \frac{0{,}4 - 0{,}3}{1 - 0{,}8} = \frac{0{,}1}{0{,}2} = 0{,}5

Comprobación. Las cuatro casillas interiores de la tabla suman

0{,}3 + 0{,}5 + 0{,}1 + 0{,}1 = 1

, y la de «ninguno de los dos»,

0{,}1

, es justo

1 - P(F \cup B) = 1 - 0{,}9

Consejo

Los porcentajes del enunciado no son de sucesos incompatibles: el $30\ \%$ que tiene los dos gustos está contado dentro del $80\ \%$ y del $40\ \%$ . Por eso la unión resta la intersección.

En c), «si sabemos que» es la señal de la condicionada: el denominador es $P(\overline{F}) = 0{,}2$ , no la probabilidad total. La tabla de doble entrada te da los dos números a la vista.