Integrales

Cortes con el eje $OX$.$$x^3 - 4x = 0 \iff x(x^2 - 4) = 0 \iff x(x - 2)(x + 2) = 0 \iff x = -2,\ x = 0,\ x = 2$$El recinto está entre $x = -2$ y $x = 2$, y se compone de dos trozos.

Signo de $f$. $f(-1) = -1 + 4 = 3 > 0$, así que $f > 0$ en $(-2, 0)$; $f(1) = 1 - 4 = -3 < 0$, así que $f < 0$ en $(0, 2)$. El primer trozo queda por encima del eje y el segundo por debajo.

Primitiva.$$F(x) = \int (x^3 - 4x)\,dx = \frac{x^4}{4} - 2x^2$$Integrales en cada tramo (regla de Barrow):$$\int_{-2}^{0} (x^3 - 4x)\,dx = F(0) - F(-2) = 0 - (4 - 8) = 4$$$$\int_{0}^{2} (x^3 - 4x)\,dx = F(2) - F(0) = (4 - 8) - 0 = -4$$Área. Sumamos los valores absolutos:$$A = \left|\int_{-2}^{0} f(x)\,dx\right| + \left|\int_{0}^{2} f(x)\,dx\right| = 4 + |-4| = 8\ \text{u}^2$$Comprobación. $f$ es impar ($f(-x) = -f(x)$), así que su gráfica es simétrica respecto del origen y los dos recintos son iguales: $A = 2\cdot 4 = 8$. Fíjate en que $\int_{-2}^{2} f(x)\,dx = 4 - 4 = 0$: sin partir la integral, el área saldría nula.