Matemáticas IIFácil2 pts

Integrales

Extremadura · 2023 · Junio

Enunciado

Calcular la integral

\int \frac{17 - x}{x^2 + x - 6}\,dx.

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Resultado

\boxed{\;\int \frac{17 - x}{x^2 + x - 6}\,dx = 3\ln|x - 2| - 4\ln|x + 3| + C\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es una integral racional con el numerador de menor grado que el denominador, así que no hace falta dividir. Factorizamos el denominador, que tiene dos raíces reales simples, descomponemos en fracciones simples y cada una da un logaritmo neperiano.

Desarrollo

Factorización del denominador.

x^2 + x - 6 = 0 \iff x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} \iff x = 2 \ \text{o}\ x = -3

x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3)

Fracciones simples. Buscamos

A

B

tales que

\frac{17 - x}{(x - 2)(x + 3)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 3} \;\Longrightarrow\; 17 - x = A(x + 3) + B(x - 2)

Damos a

x

los valores de las raíces:

x = 2:\quad 15 = 5A \;\Longrightarrow\; A = 3

x = -3:\quad 20 = -5B \;\Longrightarrow\; B = -4

Integración.

\int \frac{17 - x}{x^2 + x - 6}\,dx = \int \frac{3}{x - 2}\,dx - \int \frac{4}{x + 3}\,dx = 3\ln|x - 2| - 4\ln|x + 3| + C

Si se quiere, con las propiedades de los logaritmos queda

\ln\dfrac{|x - 2|^3}{(x + 3)^4} + C

.

Comprobación. Derivando:

\frac{3}{x - 2} - \frac{4}{x + 3} = \frac{3(x + 3) - 4(x - 2)}{(x - 2)(x + 3)} = \frac{3x + 9 - 4x + 8}{x^2 + x - 6} = \frac{17 - x}{x^2 + x - 6}\ \checkmark

Consejo

Dar a $x$ el valor de cada raíz anula todos los sumandos menos uno y da $A$ y $B$ al momento, sin plantear un sistema.

Los fallos que más puntos cuestan: olvidar el valor absoluto dentro del logaritmo y olvidar la constante $C$ . Derivar el resultado al final cuesta un minuto y detecta los errores de signo.