Derivadas y aplicaciones

Continuidad en $[0, 4]$. En $[0, 1)$ y en $(1, 4]$, $f$ es un polinomio, luego continua. En $x = 1$:$$\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1 + a + b, \qquad \lim_{x \to 1^+} f(x) = c = f(1)$$$f$ es continua en $x = 1$ si y solo si$$1 + a + b = c \qquad (1)$$Derivabilidad en $(0, 4)$. Fuera de $x = 1$, $f$ es derivable por ser polinómica:$$f'(x) = \left\{\begin{array}{ll} 2x + a & \text{si } 0 < x < 1 \\ c & \text{si } 1 < x < 4 \end{array}\right.$$Si $f$ es continua en $1$, es derivable allí cuando coinciden las derivadas laterales:$$f'(1^-) = 2 + a, \qquad f'(1^+) = c \quad\Longrightarrow\quad 2 + a = c \qquad (2)$$Valores en los extremos.$$f(0) = b, \qquad f(4) = 4c \quad\Longrightarrow\quad b = 4c \qquad (3)$$Resolución del sistema. Restando (2) de (1):$$(1 + a + b) - (2 + a) = c - c \;\Longrightarrow\; b - 1 = 0 \;\Longrightarrow\; b = 1$$De (3), $c = \frac{b}{4} = \frac{1}{4}$, y de (2), $a = c - 2 = \frac{1}{4} - 2 = -\frac{7}{4}$.

Comprobación. Con estos valores,$$f(x) = \left\{\begin{array}{ll} x^2 - \frac{7}{4}x + 1 & \text{si } 0 \leq x < 1 \\ \frac{x}{4} & \text{si } 1 \leq x \leq 4 \end{array}\right.$$En $x = 1$ los dos trozos valen $1 - \frac{7}{4} + 1 = \frac{1}{4}$ y $\frac{1}{4}$ (continua); las derivadas laterales son $2 - \frac{7}{4} = \frac{1}{4}$ y $\frac{1}{4}$ (derivable); y $f(0) = 1 = \frac{4}{4} = f(4)$. Se cumplen las tres hipótesis. De hecho, el punto que asegura Rolle es $f'(x) = 2x - \frac{7}{4} = 0$, es decir, $x = \frac{7}{8} \in (0, 4)$.