Límites y continuidad

Sea $f(x) = x\cos(2x) - x^2 + 1$. Las soluciones de la ecuación son los ceros de $f$. La función es continua en $\mathbb{R}$: es suma y producto de un polinomio y de $\cos(2x)$, composición de funciones continuas.

a) Solución positiva.$$f(0) = 0 - 0 + 1 = 1 > 0, \qquad f(1) = \cos 2 - 1 + 1 = \cos 2 \approx -0{,}4161 < 0$$($2$ rad está entre $\frac{\pi}{2} \approx 1{,}57$ y $\pi$, segundo cuadrante, donde el coseno es negativo.) $f$ es continua en $[0, 1]$ y $f(0)\cdot f(1) < 0$; por el teorema de Bolzano existe $c_1 \in (0, 1)$ con $f(c_1) = 0$: una solución positiva.

Solución negativa.$$f(-1) = -\cos(-2) - 1 + 1 = -\cos 2 \approx 0{,}4161 > 0$$$$f(-2) = -2\cos(-4) - 4 + 1 = -2\cos 4 - 3 \approx -1{,}6927 < 0$$(Sin calculadora: $-2\cos 4 \leq 2$, luego $f(-2) \leq 2 - 3 = -1 < 0$.) $f$ es continua en $[-2, -1]$ y $f(-2)\cdot f(-1) < 0$; por Bolzano existe $c_2 \in (-2, -1)$ con $f(c_2) = 0$: una solución negativa.

b) Partimos de $c_1 \in (0, 1)$ y evaluamos $f$ en el intervalo:Por ejemplo, $f(0{,}9) = 0{,}9\cos(1{,}8) - 0{,}81 + 1 \approx 0{,}9\cdot(-0{,}2272) + 0{,}19 \approx -0{,}0145$.

Como $f(0{,}8) > 0$ y $f(0{,}9) < 0$, por Bolzano la solución positiva está en el intervalo $(0{,}8;\ 0{,}9)$, de longitud $0{,}1$. Cualquier número de ese intervalo la aproxima con error menor que una décima; tomando el punto medio, $x \approx 0{,}85$, el error es menor que $0{,}05$.

(Afinando más, la raíz es $c_1 \approx 0{,}8962$; como $f(0{,}9)$ ya es casi cero, $0{,}9$ es una aproximación todavía mejor.)