Matemáticas IIFácil2 pts

Vectores y ángulos

Extremadura · 2023 · Junio

Enunciado

Hallar un vector de módulo 5 que sea ortogonal a los vectores

\vec u = (1, 2, 0)

\vec v = (-1, 0, 1)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec a = \left(\frac{10}{3},\ -\frac{5}{3},\ \frac{10}{3}\right) \quad \text{(o su opuesto)}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El producto vectorial

\vec u \times \vec v

es perpendicular a

\vec u

y a

\vec v

a la vez, y todos los vectores ortogonales a los dos (que no son paralelos) son múltiplos suyos. Basta con calcularlo, dividirlo por su módulo para tener un vector unitario y multiplicar por 5.

Desarrollo

Producto vectorial.

\vec w = \vec u \times \vec v = \begin{vmatrix} \vec\imath & \vec\jmath & \vec k \\ 1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (2\cdot 1 - 0\cdot 0)\,\vec\imath - (1\cdot 1 - 0\cdot(-1))\,\vec\jmath + (1\cdot 0 - 2\cdot(-1))\,\vec k

\vec w = (2, -1, 2)

Como

\vec w \neq \vec 0

\vec u

\vec v

no son paralelos y

\vec w

es perpendicular a los dos.

Módulo.

|\vec w| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3

Vector de módulo 5. Multiplicamos el unitario

\frac{\vec w}{|\vec w|}

por

5

\vec a = \frac{5}{3}\,(2, -1, 2) = \left(\frac{10}{3},\ -\frac{5}{3},\ \frac{10}{3}\right)

Su opuesto

-\vec a = \left(-\frac{10}{3}, \frac{5}{3}, -\frac{10}{3}\right)

también cumple lo pedido: hay exactamente dos soluciones.

Comprobación.

\vec a \cdot \vec u = \frac{10}{3} - \frac{10}{3} + 0 = 0, \qquad \vec a \cdot \vec v = -\frac{10}{3} + 0 + \frac{10}{3} = 0

|\vec a| = \frac{1}{3}\sqrt{100 + 25 + 100} = \frac{\sqrt{225}}{3} = \frac{15}{3} = 5

Consejo

«Ortogonal a dos vectores» es la señal del producto vectorial; y «de módulo 5», la de normalizar y escalar: $\vec a = \pm\,5\,\frac{\vec w}{|\vec w|}$ .

En el desarrollo por la primera fila, la componente de $\vec\jmath$ lleva el signo cambiado. Comprueba al final con dos productos escalares: si alguno no da cero, hay un error de signo.