Rectas y planos

Matriz de coeficientes y ampliada:$$M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1+b & -b \\ 1 & b & 1+b \end{pmatrix}, \qquad M^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2 \\ 1 & 1+b & -b & 2b \\ 1 & b & 1+b & 1 \end{array}\right)$$Determinante. Restamos la primera fila a la segunda y a la tercera (el determinante no cambia):$$|M| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & b-1 & 1-b \\ 0 & b-2 & b+2 \end{vmatrix} = (b-1)(b+2) - (1-b)(b-2) = (b-1)(b+2) + (b-1)(b-2)$$$$|M| = (b-1)\bigl[(b+2) + (b-2)\bigr] = 2b(b-1)$$$$|M| = 0 \iff b = 0 \ \text{o}\ b = 1$$Caso $b \neq 0$ y $b \neq 1$. $|M| \neq 0$, luego $\operatorname{rg}(M) = \operatorname{rg}(M^*) = 3$: sistema compatible determinado. Los tres planos se cortan en un único punto.

Caso $b = 0$. Los planos son$$\pi_1 \equiv x + 2y - z = 2, \qquad \pi_2 \equiv x + y = 0, \qquad \pi_3 \equiv x + z = 1$$$\operatorname{rg}(M) = 2$, porque $|M| = 0$ y $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$. Orlando ese menor con la tercera fila y la columna de términos independientes:$$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1\cdot(1 - 0) - 2\cdot(1 - 0) + 2\cdot(0 - 1) = 1 - 2 - 2 = -3 \neq 0$$luego $\operatorname{rg}(M^*) = 3 \neq \operatorname{rg}(M)$: sistema incompatible, no hay ningún punto común a los tres. Los vectores normales $\vec n_1 = (1, 2, -1)$, $\vec n_2 = (1, 1, 0)$ y $\vec n_3 = (1, 0, 1)$ no son proporcionales dos a dos, así que no hay dos planos paralelos: cada par se corta en una recta. Los planos se cortan dos a dos en tres rectas paralelas (forman un prisma triangular).

Caso $b = 1$. Los planos son$$\pi_1 \equiv x + 2y - z = 2, \qquad \pi_2 \equiv x + 2y - z = 2, \qquad \pi_3 \equiv x + y + 2z = 1$$Las dos primeras ecuaciones son iguales, así que en $M^*$ hay dos filas iguales y $\operatorname{rg}(M^*) \leq 2$. Como $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$ (filas 1 y 3), $\operatorname{rg}(M) = \operatorname{rg}(M^*) = 2 < 3$: sistema compatible indeterminado. Los planos $\pi_1$ y $\pi_2$ coinciden y $\pi_3$ los corta en una recta.

Esa recta se obtiene restando las dos ecuaciones distintas: $y - 3z = 1$. Con $z = \lambda$, $y = 1 + 3\lambda$ y $x = 1 - y - 2z = -5\lambda$:$$r \equiv (x, y, z) = (0, 1, 0) + \lambda\,(-5, 3, 1), \quad \lambda \in \mathbb{R}$$Comprobación. $\pi_1$: $-5\lambda + 2 + 6\lambda - \lambda = 2$ ✓; $\pi_3$: $-5\lambda + 1 + 3\lambda + 2\lambda = 1$ ✓.