Matemáticas IIFácil2 pts

Determinantes

Extremadura · 2023 · Junio

Enunciado

Determinar todos los números

x \in \mathbb{R}

para los que el determinante

\begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & x & 3 \\ 4 & 1 & -x \end{vmatrix}

es mayor o igual que cero.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;D(x) = -x^2 + 4x - 3 \geq 0 \iff x \in [1,\ 3]\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Calculamos el determinante por la regla de Sarrus: sale un polinomio de segundo grado en

x

. Después resolvemos la inecuación

D(x) \geq 0

como siempre: raíces del polinomio y signo en cada intervalo que determinan.

Desarrollo

Cálculo del determinante (Sarrus):

D(x) = 1\cdot x\cdot(-x) + 0\cdot 3\cdot 4 + (-1)\cdot 0\cdot 1 - \bigl[(-1)\cdot x\cdot 4 + 0\cdot 0\cdot(-x) + 1\cdot 3\cdot 1\bigr]

D(x) = -x^2 - (-4x + 3) = -x^2 + 4x - 3

Raíces.

-x^2 + 4x - 3 = 0 \iff x^2 - 4x + 3 = 0 \iff x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \iff x = 1 \ \text{o}\ x = 3

Así que

D(x) = -(x - 1)(x - 3)

.

Signo. Es una parábola con las ramas hacia abajo (coeficiente de

x^2

negativo), luego es positiva entre las raíces y negativa fuera. Lo comprobamos con un valor de cada intervalo:

	$(-\infty, 1)$	$(1, 3)$	$(3, +\infty)$
Valor de prueba	$x = 0$	$x = 2$	$x = 4$
$D(x)$	$-3 < 0$	$1 > 0$	$-3 < 0$

x = 1

x = 3

el determinante vale

0

, que también cumple «mayor o igual que cero». Por tanto,

D(x) \geq 0 \iff 1 \leq x \leq 3

Comprobación. Con

x = 2

D(2) = -4 + 8 - 3 = 1 \geq 0

; con

x = 1

D(1) = -1 + 4 - 3 = 0

Consejo

El enunciado dice «mayor o igual»: los extremos $x = 1$ y $x = 3$ , donde el determinante se anula, entran en la solución. Darla con el intervalo abierto $(1, 3)$ es el despiste típico.

En Sarrus, cuidado con los signos de los tres productos que se restan: aquí el término $(-1)\cdot x\cdot 4$ cambia de signo al restarlo y da el $+4x$ .