Matemáticas IIFácil2 pts

Matrices

Extremadura · 2023 · Junio

Enunciado

Encontrar la matriz

X

que verifica

(A - 3I)\cdot X = 2I

, donde

A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}

I

es la matriz identidad de orden 3.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;X = 2(A - 3I)^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & -\frac{2}{3} & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Llamamos

M = A - 3I

. La ecuación es

MX = 2I

: si

M

tiene inversa, se despeja multiplicando por la izquierda por

M^{-1}

, y queda

X = 2M^{-1}

. Así que el trabajo es calcular

M

, comprobar que su determinante no es cero y hallar su inversa por adjuntos.

Desarrollo

Restamos

3

a cada elemento de la diagonal de

A

M = A - 3I = \begin{pmatrix} 3-3 & 0 & 1 \\ 0 & 0-3 & 0 \\ 1 & 0 & 3-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -3 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Determinante. Desarrollando por la primera fila (solo el tercer elemento no es nulo):

|M| = 1\cdot(-1)^{1+3}\begin{vmatrix} 0 & -3 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1\cdot(0 + 3) = 3 \neq 0

Luego

M

es regular y existe

M^{-1}

. Multiplicando la ecuación por

M^{-1}

por la izquierda:

M^{-1}MX = M^{-1}\cdot 2I \;\Longrightarrow\; X = 2M^{-1}

Inversa por adjuntos. Los adjuntos

M_{ij} = (-1)^{i+j}\cdot(\text{menor})

son:

M_{11} = \begin{vmatrix} -3 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0, \quad M_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0, \quad M_{13} = \begin{vmatrix} 0 & -3 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 3

M_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0, \quad M_{22} = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1, \quad M_{23} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0

M_{31} = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -3 & 0 \end{vmatrix} = 3, \quad M_{32} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0, \quad M_{33} = \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -3 \end{vmatrix} = 0

La matriz adjunta es simétrica, así que coincide con su traspuesta:

M^{-1} = \frac{1}{|M|}\,(\operatorname{Adj} M)^t = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -\frac{1}{3} & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Por tanto,

X = 2M^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & -\frac{2}{3} & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Comprobación.

MX = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -3 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & -\frac{2}{3} & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = 2I \ \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Antes de escribir $M^{-1}$ hay que justificar que existe: di que $|M| = 3 \neq 0$ . Sin esa línea la corrección suele restar aunque la inversa esté bien.

Ojo con el $3I$ : se resta solo en la diagonal. Escribir $A - 3$ restando 3 a todos los elementos es un error frecuente que cambia la matriz entera.