Distribución normal

Sea $X$ = «vida útil, en años, de un reloj de la marca», $X \sim N(\mu = 10,\ \sigma = 2)$, y $Z \sim N(0, 1)$.

a) Tipificamos:$$z_1 = \frac{9 - 10}{2} = -0{,}5, \qquad z_2 = \frac{12 - 10}{2} = 1$$$$P(9 \le X \le 12) = P(-0{,}5 \le Z \le 1) = P(Z \le 1) - P(Z < -0{,}5)$$Por la simetría de la normal, $P(Z < -0{,}5) = 1 - P(Z \le 0{,}5)$. De la tabla, $P(Z \le 1) = 0{,}8413$ y $P(Z \le 0{,}5) = 0{,}6915$:$$P(9 \le X \le 12) = 0{,}8413 - (1 - 0{,}6915) = 0{,}8413 - 0{,}3085 = 0{,}5328$$b) Buscamos la duración $k$ tal que el $90\,\%$ de los relojes duren menos:$$P(X < k) = 0{,}90 \;\Longrightarrow\; P\left(Z < \frac{k - 10}{2}\right) = 0{,}90$$En el interior de la tabla, $0{,}90$ queda entre $P(Z \le 1{,}28) = 0{,}8997$ y $P(Z \le 1{,}29) = 0{,}9015$; el más próximo es $0{,}8997$, así que tomamos $z = 1{,}28$:$$\frac{k - 10}{2} = 1{,}28 \;\Longrightarrow\; k = 10 + 2\cdot 1{,}28 = 12{,}56 \ \text{años}$$Nuestro reloj tiene que durar unos $12{,}56$ años (algo más de 12 años y medio). Interpolando en la tabla, $z \approx 1{,}2817$ y $k \approx 12{,}56$: el mismo resultado.

Comprobación de sentido. En a) el intervalo va de media desviación típica por debajo de la media a una por encima: algo más de la mitad, razonable. En b), $k$ debe estar por encima de la media (más del $50\,\%$ dura menos), y $12{,}56 > 10$ ✓.