Matemáticas IIFácil2 pts

Probabilidad

Extremadura · 2023 · Julio

Enunciado

Un club de montaña organiza dos tipos de actividades para sus afiliados. El

70\,\%

de ellos se apuntan a escalada, el

60\,\%

a barranquismo y el

45\,\%

de ellos practica las dos. Si se elige al azar un afiliado,

a) (0,75 puntos) Calcular la probabilidad de que practique sólo una de las dos actividades.

b) (0,5 puntos) Calcular la probabilidad de que no practique ninguna.

c) (0,75 puntos) Sabiendo que hace barranquismo, calcular la probabilidad de que no haga escalada.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a) } 0{,}40 \qquad \text{b) } 0{,}15 \qquad \text{c) } P(\overline{E} \mid B) = 0{,}25\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Definimos los sucesos

E

= «hace escalada» y

B

= «hace barranquismo», con

P(E) = 0{,}7

P(B) = 0{,}6

P(E \cap B) = 0{,}45

. Con estos tres datos se rellena una tabla de contingencia completa, y de ella salen todas las respuestas: «solo una» son las dos casillas cruzadas, «ninguna» es la casilla de los dos complementarios y c) es una probabilidad condicionada.

Desarrollo

Tabla de contingencia (probabilidades; en negrita, los datos):

	$B$	$\overline{B}$	Total
$E$	$\mathbf{0{,}45}$	$0{,}25$	$\mathbf{0{,}70}$
$\overline{E}$	$0{,}15$	$0{,}15$	$0{,}30$
Total	$\mathbf{0{,}60}$	$0{,}40$	$1$

Se rellena restando:

P(E \cap \overline{B}) = 0{,}70 - 0{,}45 = 0{,}25

P(\overline{E} \cap B) = 0{,}60 - 0{,}45 = 0{,}15

P(\overline{E} \cap \overline{B}) = 0{,}30 - 0{,}15 = 0{,}15

.

a) Practicar solo una actividad es «escalada y no barranquismo» o «barranquismo y no escalada», sucesos incompatibles:

P(\text{solo una}) = P(E \cap \overline{B}) + P(\overline{E} \cap B) = 0{,}25 + 0{,}15 = 0{,}40

Equivalentemente,

P(E) + P(B) - 2P(E \cap B) = 0{,}7 + 0{,}6 - 0{,}9 = 0{,}4

.

b) No practicar ninguna es el contrario de practicar alguna. Por la fórmula de la unión:

P(E \cup B) = P(E) + P(B) - P(E \cap B) = 0{,}7 + 0{,}6 - 0{,}45 = 0{,}85

P(\overline{E} \cap \overline{B}) = 1 - P(E \cup B) = 1 - 0{,}85 = 0{,}15

c) Probabilidad condicionada a que hace barranquismo:

P(\overline{E} \mid B) = \frac{P(\overline{E} \cap B)}{P(B)} = \frac{0{,}15}{0{,}60} = \frac{1}{4} = 0{,}25

Comprobación. Las cuatro casillas interiores suman

0{,}45 + 0{,}25 + 0{,}15 + 0{,}15 = 1

✓. Y

P(E \mid B) = \frac{0{,}45}{0{,}60} = 0{,}75

, que con

0{,}25

suma

1

✓.

Consejo

Con dos sucesos y tres probabilidades (las dos marginales y la intersección), monta la tabla de contingencia: en un minuto tienes las cuatro casillas y cualquier pregunta se lee directamente.

En «solo una» no sumes $P(E) + P(B)$ : la intersección se cuenta dos veces y hay que restarla dos veces, no una.