Matemáticas IIMedio2 pts

Integrales

Extremadura · 2023 · Julio

Enunciado

Calcular el área de la región encerrada por las gráficas de las funciones

f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x

g(x) = x

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Área} = \int_0^1 (f - g)\,dx + \int_1^2 (g - f)\,dx = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\ \text{u}^2\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Primero hallamos dónde se cortan las dos gráficas resolviendo

f(x) = g(x)

. Entre cortes consecutivos una de las dos funciones va siempre por encima, pero puede cambiar de un tramo a otro, así que estudiamos el signo de

f - g

en cada tramo.

El área es la suma de las integrales de

|f - g|

en cada tramo, calculadas con la regla de Barrow.

Desarrollo

Puntos de corte.

f(x) - g(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - x = x^3 - 3x^2 + 2x = x\,(x^2 - 3x + 2) = x\,(x - 1)(x - 2)

f(x) = g(x) \iff x = 0,\ x = 1 \ \text{o}\ x = 2

Los puntos de corte son

(0, 0)

(1, 1)

(2, 2)

. La región está formada por dos recintos: uno entre

0

1

y otro entre

1

2

.

Signo de $f - g$ .

En $(0, 1)$ , por ejemplo en $x = \frac{1}{2}$ : $\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{3}{8} > 0$ , luego $f$ va por encima de $g$ .
En $(1, 2)$ , por ejemplo en $x = \frac{3}{2}$ : $\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{3}{8} < 0$ , luego $g$ va por encima de $f$ .

Primitiva de $f - g$ .

H(x) = \int (x^3 - 3x^2 + 2x)\,dx = \frac{x^4}{4} - x^3 + x^2

con

H(0) = 0

H(1) = \frac{1}{4} - 1 + 1 = \frac{1}{4}

H(2) = 4 - 8 + 4 = 0

.

Integrales por tramos (Barrow).

\int_0^1 (f - g)\,dx = H(1) - H(0) = \frac{1}{4}, \qquad \int_1^2 (f - g)\,dx = H(2) - H(1) = -\frac{1}{4}

La segunda es negativa porque en ese tramo

g

está por encima; para el área tomamos su valor absoluto:

\text{Área} = \frac{1}{4} + \left|-\frac{1}{4}\right| = \frac{1}{2} \ \text{u}^2

Comprobación. La función

f - g = x(x-1)(x-2)

es simétrica respecto del punto

(1, 0)

(cambiando

x

por

2 - x

cambia de signo), así que los dos recintos tienen la misma área,

\frac{1}{4}

cada uno, como ha salido. Si se integrara de

0

2

sin partir, saldría

H(2) - H(0) = 0

: el error clásico.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Cuando las gráficas se cortan en tres puntos, hay dos recintos y la función que va por encima cambia. Parte la integral en cada corte: integrar de golpe entre $0$ y $2$ da $0$ , que no es un área.

Factorizar $f - g$ sacando $x$ factor común te da los cortes y el signo en cada tramo a la vez.