Matemáticas IIFácil2 pts

Integrales

Extremadura · 2023 · Julio

Enunciado

Determinar la primitiva

F(x)

de la función

f(x) = (x + 1)e^{x+1}

que cumple

F(0) = -1

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;F(x) = x\,e^{x+1} - 1\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es el producto de un polinomio por una exponencial: el caso típico de integración por partes, derivando el polinomio (

u = x + 1

) e integrando la exponencial (

dv = e^{x+1}\,dx

). Así el polinomio baja de grado y la integral que queda es inmediata.

Después fijamos la constante de integración con la condición

F(0) = -1

Desarrollo

Integración por partes. Recordamos

\displaystyle\int u\,dv = uv - \int v\,du

y elegimos

u = x + 1 \;\Rightarrow\; du = dx, \qquad dv = e^{x+1}\,dx \;\Rightarrow\; v = e^{x+1}

\int (x + 1)e^{x+1}\,dx = (x + 1)e^{x+1} - \int e^{x+1}\,dx = (x + 1)e^{x+1} - e^{x+1} + C

Sacando factor común

e^{x+1}

\int (x + 1)e^{x+1}\,dx = x\,e^{x+1} + C

Constante de integración. Todas las primitivas son

F(x) = x\,e^{x+1} + C

. Imponemos

F(0) = -1

F(0) = 0\cdot e^{1} + C = C = -1

F(x) = x\,e^{x+1} - 1

Comprobación. Derivamos con la regla del producto:

F'(x) = 1\cdot e^{x+1} + x\,e^{x+1} = (x + 1)e^{x+1} = f(x) \ \checkmark, \qquad F(0) = 0 - 1 = -1 \ \checkmark

También se puede hacer con el cambio

t = x + 1

, que deja

\int t\,e^t\,dt = (t - 1)e^t + C

; al deshacerlo sale lo mismo.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En «polinomio por exponencial», toma siempre $u$ = el polinomio: al derivarlo desaparece. Si lo haces al revés, la integral se complica en cada paso.

No dejes la respuesta con $+\,C$ : el enunciado pide la primitiva que cumple $F(0) = -1$ , y la comprobación derivando te asegura el punto entero.