Matemáticas IIFácil2 pts

Límites y continuidad

Extremadura · 2023 · Julio

Enunciado

Encontrar los valores de

a

b

para que la función

f(x) = \left\{\begin{array}{ll} 2x^2 + ax + b & \text{si } x \leqslant 1 \\ \ln(x) & \text{si } x > 1 \end{array}\right.

sea continua en

x = 1

y su gráfica pase por el punto

(-1, 5)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;a = -\frac{5}{2}, \qquad b = \frac{1}{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Dos incógnitas y dos condiciones, cada una da una ecuación:

continuidad en $x = 1$ : los dos límites laterales deben coincidir con $f(1)$ , que se calcula con el primer trozo;
la gráfica pasa por $(-1, 5)$ : como $-1 \leqslant 1$ , se usa el primer trozo, $f(-1) = 5$ .

Resolvemos el sistema lineal y comprobamos.

Desarrollo

Continuidad en $x = 1$ . El valor de la función lo da el primer trozo (

1 \leqslant 1

f(1) = 2 + a + b

Límites laterales:

\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (2x^2 + ax + b) = 2 + a + b, \qquad \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \ln(x) = \ln 1 = 0

f

es continua en

x = 1

si y solo si los dos límites coinciden con

f(1)

2 + a + b = 0 \;\Longrightarrow\; a + b = -2

Paso por $(-1, 5)$ . Como

-1 \leqslant 1

f(-1) = 2(-1)^2 + a(-1) + b = 2 - a + b = 5 \;\Longrightarrow\; -a + b = 3

Sistema.

\left\{\begin{array}{l} a + b = -2 \\ -a + b = 3 \end{array}\right.

Sumando las dos ecuaciones:

2b = 1

b = \dfrac{1}{2}

. Restándolas:

2a = -5

a = -\dfrac{5}{2}

.

Comprobación. Con

a = -\frac{5}{2}

b = \frac{1}{2}

, el primer trozo es

2x^2 - \frac{5}{2}x + \frac{1}{2}

en $x = 1$ : $2 - \frac{5}{2} + \frac{1}{2} = 0 = \ln 1$ ✓ (continua);
en $x = -1$ : $2 + \frac{5}{2} + \frac{1}{2} = 5$ ✓.

En el resto de puntos

f

ya era continua: un polinomio en

x < 1

\ln x

x > 1

, donde está definido.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Mira siempre en qué trozo cae cada punto: $f(-1)$ y $f(1)$ se calculan con el polinomio porque el enunciado pone $x \leqslant 1$ . Usar el logaritmo en $x = -1$ ni siquiera tiene sentido.

Para justificar la continuidad, escribe los dos límites laterales y $f(1)$ , e iguálalos: es lo que puntúa, más que el resultado.