Calcular los coeficientes a, b, c y d del polinomio p(x) = a + bx + cx^2 + dx^3, sabiendo que cumple todas las condiciones siguientes: - p(x) tiene un máximo relativo en x = -1, y - la gráfica de p(x) tiene un punto de inflexión en (0, 0), y - la recta tangente a la gráfica de p(x) en x = 2 tiene pendiente 3.

Matemáticas IIFácil2 pts

Derivadas y aplicaciones

Extremadura · 2023 · Julio

Enunciado

Calcular los coeficientes

a

b

c

d

del polinomio

p(x) = a + bx + cx^2 + dx^3

, sabiendo que cumple todas las condiciones siguientes:

$p(x)$ tiene un máximo relativo en $x = -1$ , y
la gráfica de $p(x)$ tiene un punto de inflexión en $(0, 0)$ , y
la recta tangente a la gráfica de $p(x)$ en $x = 2$ tiene pendiente $3$ .

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;a = 0,\quad b = -1,\quad c = 0,\quad d = \frac{1}{3}\;}

\boxed{\;p(x) = \frac{x^3}{3} - x\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Hay cuatro incógnitas, así que necesitamos cuatro ecuaciones. Cada condición se traduce en una o dos:

máximo relativo en $x = -1$ : $p'(-1) = 0$ ;
punto de inflexión en $(0, 0)$ : la gráfica pasa por el punto, $p(0) = 0$ , y $p''(0) = 0$ ;
pendiente de la tangente en $x = 2$ : $p'(2) = 3$ .

Resolvemos el sistema y, al final, comprobamos que

x = -1

es de verdad un máximo (la condición

p' = 0

no lo garantiza) y que en

x = 0

hay inflexión.

Desarrollo

Derivadas del polinomio:

p(x) = a + bx + cx^2 + dx^3, \qquad p'(x) = b + 2cx + 3dx^2, \qquad p''(x) = 2c + 6dx

Punto de inflexión en $(0, 0)$ .

p(0) = 0 \;\Longrightarrow\; a = 0, \qquad p''(0) = 0 \;\Longrightarrow\; 2c = 0 \;\Longrightarrow\; c = 0

Con

a = c = 0

queda

p(x) = bx + dx^3

p'(x) = b + 3dx^2

.

Máximo relativo en $x = -1$ .

p'(-1) = 0 \;\Longrightarrow\; b + 3d = 0

Pendiente $3$ en $x = 2$ .

p'(2) = 3 \;\Longrightarrow\; b + 12d = 3

Restando la primera ecuación a la segunda:

9d = 3 \;\Longrightarrow\; d = \frac{1}{3}, \qquad b = -3d = -1

Por tanto

p(x) = \frac{x^3}{3} - x

Comprobación.

p'(x) = x^2 - 1

p''(x) = 2x

$p'(-1) = 1 - 1 = 0$ y $p''(-1) = -2 < 0$ : en $x = -1$ hay un máximo relativo ✓.
$p(0) = 0$ , $p''(0) = 0$ y $p''(x) = 2x$ cambia de signo en $x = 0$ (negativa antes, positiva después): $(0, 0)$ es punto de inflexión ✓.
$p'(2) = 4 - 1 = 3$ ✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

«Punto de inflexión en $(0, 0)$ » son dos condiciones: que la gráfica pase por $(0, 0)$ y que $p''(0) = 0$ . Si usas solo una, te falta una ecuación.

Y $p'(-1) = 0$ solo dice que hay un punto crítico: termina comprobando con $p''(-1) < 0$ que es un máximo, como pide el enunciado.