Matemáticas IIMedio2 pts

Rectas y planos

También trata: Áreas, volúmenes y distancias

Extremadura · 2023 · Julio

Enunciado

Dados los puntos

A = (0, 0, 2)

B = (1, 1, 0)

y la recta

r \equiv \left\{\begin{array}{l} x = 1 \\ y = z \end{array}\right.

.

a) (1,25 puntos) Hallar el plano que contiene a

r

y es paralelo al vector

\overrightarrow{AB}

.

b) (0,75 puntos) Hallar la distancia del punto

A

a la recta

r

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Resultado

\boxed{\;\text{a) } \pi \equiv 3x - y + z - 3 = 0\;}

\boxed{\;\text{b) } d(A, r) = \sqrt{3}\ \text{u} \approx 1{,}73\ \text{u}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Lo primero es pasar

r

a forma paramétrica para tener un punto y un vector director. En a) el plano queda determinado por ese punto y dos vectores directores: el de

r

\overrightarrow{AB}

; su producto vectorial da el vector normal.

En b) usamos la fórmula de la distancia de un punto a una recta,

d(A, r) = \frac{|\overrightarrow{PA}\times\vec{d}_r|}{|\vec{d}_r|}

, con

P

un punto de

r

; la comprobamos con el pie de la perpendicular.

Desarrollo

Paramétricas de $r$ . Con

x = 1

fijo y

y = z = t

r \equiv \left\{\begin{array}{l} x = 1 \\ y = t \\ z = t \end{array}\right. \qquad P = (1, 0, 0) \in r, \qquad \vec{d}_r = (0, 1, 1)

a) El vector que hay que tomar como segundo director es

\overrightarrow{AB} = B - A = (1,\ 1,\ -2)

que no es proporcional a

\vec{d}_r

, así que los dos generan un plano. Su vector normal:

\vec{n} = \vec{d}_r\times\overrightarrow{AB} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = (-2 - 1)\,\vec{i} - (0 - 1)\,\vec{j} + (0 - 1)\,\vec{k} = (-3,\ 1,\ -1)

Tomamos

\vec{n} = (3, -1, 1)

(el opuesto) y el punto

P = (1, 0, 0)

3(x - 1) - (y - 0) + (z - 0) = 0 \;\Longrightarrow\; \pi \equiv 3x - y + z - 3 = 0

Comprobación. Contiene a

r

: un punto genérico

(1, t, t)

3 - t + t - 3 = 0

✓ para todo

t

. Es paralelo a

\overrightarrow{AB}

\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB} = 3 - 1 - 2 = 0

✓.

b) Con

P = (1, 0, 0)

\overrightarrow{PA} = A - P = (-1,\ 0,\ 2)

\overrightarrow{PA}\times\vec{d}_r = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (0 - 2)\,\vec{i} - (-1 - 0)\,\vec{j} + (-1 - 0)\,\vec{k} = (-2,\ 1,\ -1)

d(A, r) = \frac{|\overrightarrow{PA}\times\vec{d}_r|}{|\vec{d}_r|} = \frac{\sqrt{4 + 1 + 1}}{\sqrt{0 + 1 + 1}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{3} \approx 1{,}73 \ \text{u}

Comprobación con el pie de la perpendicular. Un punto de

r

Q = (1, t, t)

\overrightarrow{AQ} = (1,\ t,\ t - 2)

. Imponemos

\overrightarrow{AQ}\perp\vec{d}_r

\overrightarrow{AQ}\cdot\vec{d}_r = t + (t - 2) = 2t - 2 = 0 \iff t = 1

Así

Q = (1, 1, 1)

\overrightarrow{AQ} = (1, 1, -1)

|\overrightarrow{AQ}| = \sqrt{3}

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Una recta dada como $x = 1$ , $y = z$ es la intersección de dos planos: antes de nada, ponla en paramétricas ( $x = 1$ , $y = t$ , $z = t$ ) para leer un punto y el vector director.

En a), comprueba siempre el plano: un punto genérico de la recta debe cumplir la ecuación para cualquier $t$ , y el normal debe ser perpendicular al vector $\overrightarrow{AB}$ .