Vectores y ángulos

a) Determinante de los tres vectores (desarrollamos por la primera fila, que tiene dos ceros):$$\begin{vmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 2\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 2\,(-1 - 2) = -6 \neq 0$$Como el determinante no es nulo, el rango de los tres vectores es 3: son linealmente independientes (forman una base de $\mathbb{R}^3$).

b) Producto vectorial:$$\vec{u}\times\vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (0 - 2)\,\vec{i} - (0 - 2)\,\vec{j} + (0 - 0)\,\vec{k} = (-2,\ 2,\ 0)$$$$|\vec{u}\times\vec{v}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$El triángulo es la mitad del paralelogramo:$$\text{Área} = \frac{1}{2}\,|\vec{u}\times\vec{v}| = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \approx 1{,}41 \ \text{u}^2$$Comprobación. $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son perpendiculares ($\vec{u}\cdot\vec{v} = 0$), así que el triángulo es rectángulo con catetos $|\vec{u}| = 2$ y $|\vec{v}| = \sqrt{2}$: $\frac{1}{2}\cdot 2\cdot\sqrt{2} = \sqrt{2}$ ✓.

c) Producto vectorial de $\vec{v}$ y $\vec{w}$:$$\vec{v}\times\vec{w} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = (1 - 0)\,\vec{i} - (1 - 0)\,\vec{j} + (-1 - 2)\,\vec{k} = (1,\ -1,\ -3)$$$$|\vec{v}\times\vec{w}| = \sqrt{1 + 1 + 9} = \sqrt{11}$$Dividimos entre el módulo:$$\vec{e} = \frac{1}{\sqrt{11}}\,(1,\ -1,\ -3) = \left(\frac{\sqrt{11}}{11},\ -\frac{\sqrt{11}}{11},\ -\frac{3\sqrt{11}}{11}\right)$$Comprobación. $\vec{e}\cdot\vec{v} = \frac{1}{\sqrt{11}}(1 - 1 + 0) = 0$ ✓, $\vec{e}\cdot\vec{w} = \frac{1}{\sqrt{11}}(2 + 1 - 3) = 0$ ✓ y $|\vec{e}| = 1$ ✓. Su opuesto, $-\vec{e}$, también vale.