Sistemas de ecuaciones

a) Matriz de coeficientes y matriz ampliada:$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2a-1 \\ 2 & 1 & a & a \\ 1 & a & 1 & 1 \end{array}\right)$$Desarrollamos $|A|$ por la primera fila:$$|A| = 1\,(1 - a^2) - 1\,(2 - a) + 1\,(2a - 1) = -a^2 + 3a - 2 = -(a - 1)(a - 2)$$$$|A| = 0 \iff a = 1 \ \text{o}\ a = 2$$Caso $a \neq 1$ y $a \neq 2$. $|A| \neq 0$, luego $\operatorname{rg}(A) = 3 = \operatorname{rg}(A^*) =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado (solución única).

Caso $a = 1$. El sistema queda$$\left\{\begin{array}{l} x + y + z = 1 \\ 2x + y + z = 1 \\ x + y + z = 1 \end{array}\right.$$La primera y la tercera ecuación son idénticas (también en el término independiente). El menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$ (filas 1 y 2, columnas de $x$ e $y$) da $\operatorname{rg}(A) = 2$, y como la fila 3 de $A^*$ repite la fila 1, también $\operatorname{rg}(A^*) = 2$. Así, $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 2 < 3$: sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones, con un parámetro).

Caso $a = 2$. El sistema queda$$\left\{\begin{array}{l} x + y + z = 3 \\ 2x + y + 2z = 2 \\ x + 2y + z = 1 \end{array}\right.$$Con $|A| = 0$ y el menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$, $\operatorname{rg}(A) = 2$. Orlamos ese menor con la tercera fila y la columna de términos independientes:$$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 1\,(1 - 4) - 1\,(2 - 2) + 3\,(4 - 1) = -3 - 0 + 9 = 6 \neq 0$$luego $\operatorname{rg}(A^*) = 3 \neq \operatorname{rg}(A) = 2$: sistema incompatible. Se ve también a mano: la columna de $z$ coincide con la de $x$, y restando a la segunda ecuación la primera queda $x + z = -1$, mientras que restando a la primera la tercera queda $-y = 2$, $y = -2$; con $y = -2$ la primera da $x + z = 5$. Contradicción.

b) Con $a = 1$ basta con las dos primeras ecuaciones (la tercera repite la primera):$$\left\{\begin{array}{l} x + y + z = 1 \\ 2x + y + z = 1 \end{array}\right.$$Restando la primera a la segunda: $x = 0$. Entonces $y + z = 1$. Tomamos $z = \lambda$ como parámetro:$$x = 0, \qquad y = 1 - \lambda, \qquad z = \lambda, \qquad \lambda \in \mathbb{R}$$Comprobación. $(0,\ 1-\lambda,\ \lambda)$: primera, $0 + 1 - \lambda + \lambda = 1 = 2\cdot 1 - 1$ ✓; segunda, $0 + 1 - \lambda + \lambda = 1 = a$ ✓; tercera, igual que la primera ✓.