Determinantes

Restamos $\lambda$ en la diagonal:$$A - \lambda I = \begin{pmatrix} -\lambda & 0 & 2 \\ 1 & -\lambda & 1 \\ -1 & 0 & 3-\lambda \end{pmatrix}$$Desarrollamos el determinante por la segunda columna, que solo tiene un elemento no nulo, $-\lambda$, en la posición $(2,2)$ (signo $+$):$$|A - \lambda I| = (-\lambda)\begin{vmatrix} -\lambda & 2 \\ -1 & 3-\lambda \end{vmatrix} = -\lambda\bigl[-\lambda(3-\lambda) + 2\bigr] = -\lambda\,(\lambda^2 - 3\lambda + 2)$$Factorizamos el trinomio ($\lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0 \iff \lambda = 1$ o $\lambda = 2$):$$|A - \lambda I| = -\lambda\,(\lambda - 1)(\lambda - 2) = 0 \iff \lambda \in \{0,\ 1,\ 2\}$$Caso $\lambda \neq 0, 1, 2$. El determinante no se anula: $\operatorname{rg}(A - \lambda I) = 3$.

Caso $\lambda = 0$. La matriz es la propia $A$:$$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 3 \end{pmatrix}, \qquad \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0 - 2 = -2 \neq 0$$(filas 1 y 2, columnas 1 y 3). Como $|A| = 0$, $\operatorname{rg}(A) = 2$.

Caso $\lambda = 1$.$$A - I = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}, \qquad \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$$(filas 1 y 2, columnas 1 y 2). El determinante es $0$ (de hecho, las filas 1 y 3 son iguales), así que $\operatorname{rg}(A - I) = 2$.

Caso $\lambda = 2$.$$A - 2I = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 4 \neq 0$$(filas 1 y 2, columnas 1 y 2). Con el determinante nulo (la fila 1 es el doble de la fila 3), $\operatorname{rg}(A - 2I) = 2$.

En ningún caso el rango baja a 1: siempre hemos encontrado un menor de orden 2 distinto de cero.

Comprobación. Con $\lambda = 3$, por ejemplo, $|A - 3I| = -3\cdot 2\cdot 1 = -6 \neq 0$, rango 3, como dice el caso general.