Matemáticas IIFácil2 pts

Probabilidad

Castilla y León · 2023 · Junio

Enunciado

Si lanzamos al mismo tiempo dos dados idénticos y del tipo usual (es decir, que sean cúbicos, que todas sus caras tengan la misma probabilidad de quedar hacia arriba y que en cada una de ellas aparezca un número de puntos que varíe desde el uno hasta el seis), ¿cuál es la probabilidad de que la suma de las puntuaciones obtenidas en los dos dados coincida con la suma más frecuente?

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Resultado

\boxed{\;\text{Suma más frecuente: } 7;\qquad P(\text{suma} = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0{,}1667\;}

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Estrategia

Usamos la regla de Laplace sobre un espacio muestral de resultados equiprobables. Aunque los dados sean idénticos, para que los casos sean igual de probables hay que distinguirlos (como si uno fuera rojo y otro azul): hay

6\cdot 6 = 36

pares ordenados igual de probables. Contamos cuántos pares dan cada suma, vemos cuál es la más frecuente y dividimos sus casos favorables entre 36.

Desarrollo

Espacio muestral equiprobable. Distinguimos los dos dados (dado 1 y dado 2). Cada resultado es un par

(a, b)

con

a, b \in \{1, \dots, 6\}

; hay

6\cdot 6 = 36

pares y, como los dados son equilibrados e independientes, todos tienen probabilidad

\frac{1}{36}

.

Que los dados sean idénticos no cambia las probabilidades: solo nos impide ver cuál es cuál. Si tomáramos como casos los 21 resultados sin orden (

\{1,1\}, \{1,2\}, \dots

), no serían equiprobables:

\{1, 2\}

puede salir de dos formas,

(1,2)

(2,1)

, y

\{1,1\}

solo de una.

Tabla de sumas (fila: dado 1; columna: dado 2):

$+$	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

Frecuencia de cada suma (número de casillas con ese valor):

Suma	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Casos	1	2	3	4	5	6	5	4	3	2	1

Las frecuencias suman

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36

✓. La suma más frecuente es 7, que es la diagonal secundaria de la tabla:

(1,6),\ (2,5),\ (3,4),\ (4,3),\ (5,2),\ (6,1)

Regla de Laplace:

P(\text{suma} = 7) = \frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0{,}1667

Consejo

La trampa está en la palabra «idénticos»: los 21 resultados sin orden no son equiprobables, y con ellos saldría $\frac{3}{21}$ , que es incorrecto. Distingue siempre los dados.

Para sacar la máxima nota, justifica por qué los 36 casos son equiprobables antes de aplicar Laplace y enseña la tabla o la lista de los seis casos favorables.