Probabilidad

Definimos los sucesos, al elegir un participante al azar:

• $E$: «es español»; $U$: «es europeo no español»; $R$: «procede del resto del mundo».
• $J$: «no tiene más de 40 años» (no pasa de los 40).

a) Las seis probabilidades del enunciado son:$$P(E) = 0{,}5, \qquad P(U) = 0{,}3, \qquad P(R) = 1 - 0{,}5 - 0{,}3 = 0{,}2$$$$P(J \mid E) = \frac{2}{3}, \qquad P(J \mid U) = \frac{1}{2}, \qquad P(J \mid R) = \frac{1}{3}$$Las tres primeras son probabilidades de los grupos (suman 1) y las tres últimas, condicionadas: «dos tercios de los españoles» es la probabilidad de $J$ sabiendo que es español, no $P(E \cap J)$.

En forma de árbol: del origen salen tres ramas ($E$ con $0{,}5$, $U$ con $0{,}3$ y $R$ con $0{,}2$), y de cada una, dos ramas $J$ y $\overline J$ ($\frac23$ y $\frac13$ desde $E$; $\frac12$ y $\frac12$ desde $U$; $\frac13$ y $\frac23$ desde $R$).

b) Por el teorema de la probabilidad total (sumamos las tres ramas que acaban en $J$):$$P(J) = P(E)\,P(J \mid E) + P(U)\,P(J \mid U) + P(R)\,P(J \mid R)$$$$P(J) = 0{,}5\cdot\frac{2}{3} + 0{,}3\cdot\frac{1}{2} + 0{,}2\cdot\frac{1}{3} = \frac{1}{3} + \frac{3}{20} + \frac{1}{15} = \frac{20 + 9 + 4}{60} = \frac{33}{60} = \frac{11}{20} = 0{,}55$$c) Por el teorema de Bayes:$$P(E \mid J) = \frac{P(E \cap J)}{P(J)} = \frac{P(E)\,P(J \mid E)}{P(J)} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{11}{20}} = \frac{20}{33} \approx 0{,}6061$$Comprobación. Las tres probabilidades a posteriori deben sumar 1:$$P(E \mid J) + P(U \mid J) + P(R \mid J) = \frac{\frac13}{\frac{11}{20}} + \frac{\frac{3}{20}}{\frac{11}{20}} + \frac{\frac{1}{15}}{\frac{11}{20}} = \frac{20}{33} + \frac{9}{33} + \frac{4}{33} = 1 \ \checkmark$$Además, $P(E \mid J) \approx 0{,}61 > P(E) = 0{,}5$: tiene sentido, porque entre los españoles hay más proporción de menores de 40 que en los otros grupos.