Integrales

Cortes con el eje y signo. Como $e^{-x} > 0$ siempre,$$f(x) = xe^{-x} = 0 \iff x = 0$$El único corte está en el extremo derecho del intervalo. En $[-1, 0)$ el factor $x$ es negativo y $e^{-x}$ positivo, así que $f(x) < 0$: la gráfica queda por debajo del eje en todo el intervalo (por ejemplo, $f(-1) = -e \approx -2{,}72$). Por tanto$$\text{Área} = \left|\int_{-1}^{0} xe^{-x}\,dx\right| = -\int_{-1}^{0} xe^{-x}\,dx$$Primitiva por partes, con$$u = x \ \Rightarrow\ du = dx, \qquad dv = e^{-x}\,dx \ \Rightarrow\ v = -e^{-x}$$$$\int xe^{-x}\,dx = -xe^{-x} - \int(-e^{-x})\,dx = -xe^{-x} + \int e^{-x}\,dx = -xe^{-x} - e^{-x} + C = -(x + 1)\,e^{-x} + C$$Comprobación: $\frac{d}{dx}\left[-(x + 1)e^{-x}\right] = -e^{-x} + (x + 1)e^{-x} = xe^{-x}$ ✓.

Regla de Barrow con $F(x) = -(x + 1)e^{-x}$:$$F(0) = -(0 + 1)e^{0} = -1, \qquad F(-1) = -(-1 + 1)e^{1} = 0$$$$\int_{-1}^{0} xe^{-x}\,dx = F(0) - F(-1) = -1 - 0 = -1$$La integral es negativa, como esperábamos (la función está por debajo del eje). El área es$$\text{Área} = |-1| = 1\ \text{u}^2$$Comprobación de sentido. El recinto va de $x = -1$, donde la profundidad es $e \approx 2{,}72$, a $x = 0$, donde es $0$; el triángulo con esos vértices tendría área $\frac{1\cdot 2{,}72}{2} \approx 1{,}36$, y la curva queda por dentro de él (en ese tramo $f''(x) = (x - 2)e^{-x} < 0$ y la curva va por encima de la cuerda que une $(-1, -e)$ con el origen), así que un área de $1$ es razonable.