Matemáticas IIFácil2 pts

Límites y continuidad

Castilla y León · 2023 · Junio

Enunciado

Calcular

\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^3 + x - 1} - \sqrt{x^3 + 1}}{x - 2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^3 + x - 1} - \sqrt{x^3 + 1}}{x - 2} = \frac{1}{6}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Al sustituir

x = 2

los dos radicandos valen 9, así que el numerador se anula igual que el denominador: es una indeterminación

\frac{0}{0}

. Como el numerador es una diferencia de raíces, la resolvemos multiplicando y dividiendo por el conjugado: el numerador se convierte en una diferencia de radicandos, en la que aparece el factor

x - 2

que se simplifica con el denominador. (También se puede hacer con la regla de L'Hôpital; lo usamos como comprobación).

Desarrollo

Tipo de límite. En

x = 2

x^3 + x - 1 = 8 + 2 - 1 = 9, \qquad x^3 + 1 = 8 + 1 = 9

\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^3 + x - 1} - \sqrt{x^3 + 1}}{x - 2} = \frac{\sqrt 9 - \sqrt 9}{0} = \frac{0}{0}

Multiplicamos por el conjugado del numerador, usando

(\sqrt A - \sqrt B)(\sqrt A + \sqrt B) = A - B

\frac{\sqrt{x^3 + x - 1} - \sqrt{x^3 + 1}}{x - 2}\cdot\frac{\sqrt{x^3 + x - 1} + \sqrt{x^3 + 1}}{\sqrt{x^3 + x - 1} + \sqrt{x^3 + 1}} = \frac{(x^3 + x - 1) - (x^3 + 1)}{(x - 2)\left(\sqrt{x^3 + x - 1} + \sqrt{x^3 + 1}\right)}

El numerador queda

x^3 + x - 1 - x^3 - 1 = x - 2

, que se simplifica con el denominador (para

x \neq 2

, que es lo que importa en el límite):

\frac{x - 2}{(x - 2)\left(\sqrt{x^3 + x - 1} + \sqrt{x^3 + 1}\right)} = \frac{1}{\sqrt{x^3 + x - 1} + \sqrt{x^3 + 1}}

Calculamos el límite, que ya no es indeterminado:

\lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{x^3 + x - 1} + \sqrt{x^3 + 1}} = \frac{1}{\sqrt 9 + \sqrt 9} = \frac{1}{3 + 3} = \frac{1}{6}

Comprobación con L'Hôpital. Numerador y denominador son derivables cerca de

x = 2

y el límite es

\frac{0}{0}

. Derivando (regla de la cadena en las raíces):

\lim_{x \to 2}\frac{\dfrac{3x^2 + 1}{2\sqrt{x^3 + x - 1}} - \dfrac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}}}{1} = \frac{13}{2\cdot 3} - \frac{12}{2\cdot 3} = \frac{13 - 12}{6} = \frac{1}{6} \ \checkmark

Consejo

Empieza siempre sustituyendo y escribiendo el tipo de indeterminación ( $\frac00$ ): la corrección lo valora y te dice qué herramienta usar.

Con una diferencia de raíces, el conjugado es lo más limpio. Al multiplicar, pon el segundo radicando entre paréntesis: el error típico es restar $x^3 + 1$ sin cambiar el signo del $1$ .