Matemáticas IIFácil2 pts

Derivadas y aplicaciones

También trata: Integrales

Castilla y León · 2023 · Junio

Enunciado

a) (1 punto) Determínense el dominio de definición, intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos relativos, si existen, de la función

f(x) = x\,(\ln x - 1)

.

b) (1 punto) Calcúlese

\displaystyle\int x\,(\ln x - 1)\,dx

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Resultado

\boxed{\;\text{a) Dom} = (0, +\infty);\ \text{decrece en } (0, 1),\ \text{crece en } (1, +\infty);\ \text{mínimo en } (1, -1)\;}

\boxed{\;\text{b) } \int x(\ln x - 1)\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{3x^2}{4} + C\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) el dominio lo marca el logaritmo, que solo existe para

x > 0

. Después derivamos (regla del producto), estudiamos el signo de

f'

en el dominio y de ahí salen la monotonía y los extremos.

En b) separamos la integral en

\int x\ln x\,dx - \int x\,dx

. La segunda es inmediata y la primera se hace por partes, tomando

u = \ln x

(porque su derivada,

1/x

, simplifica) y

dv = x\,dx

Desarrollo

a) Dominio.

\ln x

solo está definido para

x > 0

, y el resto de la expresión no añade restricciones:

\operatorname{Dom}(f) = (0, +\infty)

Derivada. Por la regla del producto:

f'(x) = 1\cdot(\ln x - 1) + x\cdot\frac{1}{x} = \ln x - 1 + 1 = \ln x

Signo de $f'$ .

\ln x = 0 \iff x = 1

, y en el dominio:

En $(0, 1)$ : $\ln x < 0$ , luego $f'(x) < 0$ y $f$ es decreciente.
En $(1, +\infty)$ : $\ln x > 0$ , luego $f'(x) > 0$ y $f$ es creciente.

Extremos. En

x = 1

la función pasa de decrecer a crecer: hay un mínimo relativo en

f(1) = 1\cdot(\ln 1 - 1) = 1\cdot(0 - 1) = -1, \qquad \text{es decir, en } (1, -1)

No hay máximos relativos (es el único punto crítico). Comprobación con la derivada segunda:

f''(x) = \frac{1}{x}

, y

f''(1) = 1 > 0

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Separamos la integral:

\int x\,(\ln x - 1)\,dx = \int x\ln x\,dx - \int x\,dx

Por partes en la primera, con

u = \ln x \ \Rightarrow\ du = \frac{1}{x}\,dx, \qquad dv = x\,dx \ \Rightarrow\ v = \frac{x^2}{2}

\int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int\frac{x}{2}\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}

Restando

\int x\,dx = \frac{x^2}{2}

y añadiendo la constante:

\int x\,(\ln x - 1)\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} - \frac{x^2}{2} + C = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{3x^2}{4} + C = \frac{x^2}{4}\,(2\ln x - 3) + C

Comprobación (derivando el resultado):

\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{3x^2}{4}\right) = x\ln x + \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x} - \frac{3x}{2} = x\ln x + \frac{x}{2} - \frac{3x}{2} = x\ln x - x = x\,(\ln x - 1) \ \checkmark

Consejo

En a) los intervalos se dan dentro del dominio: escribir «decrece en $(-\infty, 1)$ » es un error típico que penaliza, porque la función no existe para $x \le 0$ .

En b) no te olvides de la constante $C$ y compruébalo derivando: es la forma más rápida de cazar un signo o un factor $\frac12$ perdido al integrar por partes.