Derivadas y aplicaciones

a) Las dos funciones son derivables en todo $\mathbb{R}$, así que sus extremos relativos están donde se anula la derivada.

Para $f(x) = x^2 - a$:$$f'(x) = 2x = 0 \iff x = 0, \qquad f''(x) = 2 > 0$$$f$ tiene un único extremo relativo, un mínimo en $x = 0$, con $f(0) = -a$.

Para $g(x) = (x - b)e^x$, por la regla del producto:$$g'(x) = 1\cdot e^x + (x - b)e^x = (x - b + 1)e^x$$Como $e^x > 0$ siempre, $g'(x) = 0 \iff x = b - 1$. La derivada segunda es $g''(x) = (x - b + 2)e^x$, y en ese punto $g''(b - 1) = e^{b - 1} > 0$: $g$ tiene un único extremo relativo, un mínimo en $x = b - 1$.

Mismo punto. El único extremo de $f$ está en $x = 0$, así que el de $g$ también debe estar ahí:$$b - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad b = 1$$Mismo valor. Con $b = 1$, $g(0) = (0 - 1)e^0 = -1$. Igualamos con $f(0) = -a$:$$-a = -1 \quad\Longrightarrow\quad a = 1$$Comprobación. Con $a = 1$ y $b = 1$: $f(x) = x^2 - 1$ tiene un mínimo en $x = 0$ con $f(0) = -1$, y $g(x) = (x - 1)e^x$ tiene $g'(x) = x e^x$, que se anula en $x = 0$, con $g(0) = -1$. Las dos valen $-1$ en su extremo común ✓.

b) Se anula en $x = 0$: $f(0) = 2\cdot 0 + \operatorname{sen} 0 = 0$.

No se anula en ningún otro punto. $f$ es derivable en todo $\mathbb{R}$ y$$f'(x) = 2 + \cos x$$Como $-1 \le \cos x \le 1$, se tiene $f'(x) \ge 2 - 1 = 1 > 0$ para todo $x$. Por tanto $f$ es estrictamente creciente en $\mathbb{R}$:

• si $x < 0$, entonces $f(x) < f(0) = 0$;
• si $x > 0$, entonces $f(x) > f(0) = 0$.

Así que $x = 0$ es el único punto donde $f$ se anula.

Otra forma (Rolle). Supongamos que hubiera otro cero $c \neq 0$. $f$ es continua en el intervalo cerrado de extremos $0$ y $c$, derivable en el abierto y $f(0) = f(c) = 0$; por el teorema de Rolle existiría un punto intermedio $\xi$ con $f'(\xi) = 2 + \cos\xi = 0$, es decir, $\cos\xi = -2$, que es imposible. Contradicción.