Rectas y planos

De la ecuación continua de $r$ leemos un punto y un vector director, y de la ecuación de $\pi$, su vector normal:$$A = (0, 4, 1) \in r, \qquad \vec v_r = (-2, 2, 1), \qquad \vec n_\pi = (1, 2, -2)$$a) Producto escalar del director y la normal:$$\vec v_r \cdot \vec n_\pi = (-2)\cdot 1 + 2\cdot 2 + 1\cdot(-2) = -2 + 4 - 2 = 0$$El director de $r$ es perpendicular a la normal de $\pi$, así que $r$ es paralela a $\pi$ o está contenida en él. Sustituimos el punto $A$ en $\pi$:$$0 + 2\cdot 4 - 2\cdot 1 = 6 \neq 0$$$A$ no está en $\pi$, luego la recta no está contenida en el plano: $r$ es paralela a $\pi$.

b) Como $r \parallel \pi$, la distancia de $r$ a $\pi$ es la de cualquiera de sus puntos, por ejemplo $A$:$$d(r, \pi) = d(A, \pi) = \frac{|0 + 2\cdot 4 - 2\cdot 1|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} = \frac{6}{\sqrt 9} = \frac{6}{3} = 2$$Un plano paralelo a $\pi$ tiene la misma normal: $\sigma \equiv x + 2y - 2z + D = 0$. La recta $r$ también es paralela a $\sigma$ (su director es perpendicular a $\vec n_\pi$), así que $d(r, \sigma) = d(A, \sigma)$. Imponemos que valga 2:$$d(A, \sigma) = \frac{|0 + 8 - 2 + D|}{3} = \frac{|6 + D|}{3} = 2 \iff |6 + D| = 6$$$$6 + D = 6 \ \Rightarrow\ D = 0 \qquad \text{o} \qquad 6 + D = -6 \ \Rightarrow\ D = -12$$$D = 0$ es el propio $\pi$, que el enunciado excluye. Queda$$\sigma \equiv x + 2y - 2z - 12 = 0$$Comprobación. $d(A, \sigma) = \frac{|8 - 2 - 12|}{3} = \frac{6}{3} = 2$ ✓. Además, la recta queda justo en medio de los dos planos: el valor del primer miembro en $A$ es $6$, que está a $6$ unidades de $0$ (el término de $\pi$ cambiado de signo) y a $6$ de $12$ (el de $\sigma$). La distancia entre $\pi$ y $\sigma$ es $\frac{|0 - (-12)|}{3} = 4 = 2 + 2$ ✓.