Matemáticas IIFácil2 pts

Rectas y planos

Castilla y León · 2023 · Junio

Enunciado

Calcular la ecuación del plano

\pi

que es perpendicular al plano

\sigma \equiv x + 2y + 3z = 0

y pasa por los puntos

P = (0,0,0)

Q = (0,1,1)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\pi \equiv x + y - z = 0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Un plano queda determinado por un punto y dos vectores directores independientes. Como

\pi

pasa por

P

Q

, el vector

\overrightarrow{PQ}

está en

\pi

. Como

\pi

es perpendicular a

\sigma

, el vector normal de

\sigma

es paralelo a

\pi

y sirve como segundo director. El vector normal de

\pi

es entonces el producto vectorial de esos dos vectores.

Desarrollo

Vectores directores de $\pi$ .

$\overrightarrow{PQ} = (0,1,1) - (0,0,0) = (0, 1, 1)$ , contenido en $\pi$ porque $P, Q \in \pi$ .
$\vec n_\sigma = (1, 2, 3)$ , el vector normal de $\sigma$ . Si dos planos son perpendiculares, el vector normal de uno es paralelo al otro.

No son proporcionales (si fuera

(0, 1, 1) = k\,(1, 2, 3)

, la primera coordenada daría

k = 0

y la segunda,

1 = 0

), así que son independientes y determinan el plano.

Vector normal de $\pi$ . Es perpendicular a los dos:

\vec n_\pi = \overrightarrow{PQ} \times \vec n_\sigma = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = (3 - 2)\,\vec i - (0 - 1)\,\vec j + (0 - 1)\,\vec k = (1, 1, -1)

Ecuación de $\pi$ . Con normal

(1, 1, -1)

y pasando por

P = (0,0,0)

1\cdot(x - 0) + 1\cdot(y - 0) - 1\cdot(z - 0) = 0 \quad\Longrightarrow\quad \pi \equiv x + y - z = 0

Comprobación.

$P$ : $0 + 0 - 0 = 0$ ✓.
$Q$ : $0 + 1 - 1 = 0$ ✓.
Perpendicularidad: $\vec n_\pi \cdot \vec n_\sigma = 1\cdot 1 + 1\cdot 2 + (-1)\cdot 3 = 0$ , las normales son perpendiculares, luego los planos también ✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Perpendicular a un plano significa que el vector normal de ese plano está dentro de $\pi$ (es un director), no que sea su normal. Confundirlo da el plano paralelo a $\sigma$ .

Al final, comprueba las tres condiciones: los dos puntos y el producto escalar de las normales igual a cero.