Matrices

Producto $AB$. Cada elemento es fila de $A$ por columna de $B$:$$AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x & 0 \\ y & 1 \\ z & x + y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + z & 0 + 0 + (x + y) \\ -x + y & 0 + 1 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + z & x + y \\ -x + y & 1 \end{pmatrix}$$Inversa de $C$. Su determinante es$$|C| = 1\cdot 2 - (-1)(-1) = 2 - 1 = 1 \neq 0$$así que $C$ es invertible. Para una matriz $2\times 2$, $C^{-1} = \frac{1}{|C|}\operatorname{Adj}(C)^t$, que consiste en intercambiar los elementos de la diagonal principal y cambiar de signo los de la otra:$$C^{-1} = \frac{1}{1}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$Comprobación: $C\,C^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - 1 & 1 - 1 \\ -2 + 2 & -1 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ✓.

Igualamos $AB = C^{-1}$ elemento a elemento:$$\left\{\begin{array}{l} x + z = 2 \\ x + y = 1 \\ -x + y = 1 \\ 1 = 1 \end{array}\right.$$La última igualdad se cumple siempre. Sumando la segunda y la tercera, $2y = 2$, luego $y = 1$; entonces $x = 1 - y = 0$, y de la primera, $z = 2 - x = 2$.

Comprobación. Con $x = 0$, $y = 1$, $z = 2$:$$B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \qquad AB = \begin{pmatrix} 0 + 0 + 2 & 0 + 0 + 1 \\ 0 + 1 + 0 & 0 + 1 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = C^{-1} \ \checkmark$$