Sistemas de ecuaciones

Matriz de coeficientes y matriz ampliada:$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ \lambda & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \lambda \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & \mu \\ \lambda & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & \lambda & -1 \end{array}\right)$$Desarrollamos $|A|$ por la primera fila:$$|A| = 1\cdot(\lambda - 0) - 2\cdot(\lambda^2 - 0) + 1\cdot(\lambda - 0) = 2\lambda - 2\lambda^2 = 2\lambda(1 - \lambda)$$$$|A| = 0 \iff \lambda = 0 \ \text{o}\ \lambda = 1$$Si $\lambda \neq 0$ y $\lambda \neq 1$, $\operatorname{rg}(A) = 3 = \operatorname{rg}(A^*)$: el sistema es compatible determinado (solución única) sea cual sea $\mu$. Las infinitas soluciones solo pueden aparecer con $\lambda = 0$ o $\lambda = 1$.

Caso $\lambda = 0$. El sistema queda$$\left\{\begin{array}{l} x + 2y + z = \mu \\ y = 1 \\ y = -1 \end{array}\right.$$Las dos últimas ecuaciones son contradictorias. Con rangos: $\operatorname{rg}(A) = 2$ (el menor $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$ de las filas 1 y 2) y, orlándolo con la tercera fila y la columna de términos independientes,$$\begin{vmatrix} 1 & 2 & \mu \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 1\cdot(-1 - 1) = -2 \neq 0$$luego $\operatorname{rg}(A^*) = 3 \neq \operatorname{rg}(A)$: incompatible para todo $\mu$. Este valor no sirve.

Caso $\lambda = 1$. El sistema queda$$\left\{\begin{array}{l} x + 2y + z = \mu \\ x + y = 1 \\ y + z = -1 \end{array}\right.$$$\operatorname{rg}(A) = 2$, porque $|A| = 0$ y el menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$ (filas 2 y 3, columnas de $x$ e $y$). Orlamos ese menor con la primera fila y la columna de términos independientes:$$\begin{vmatrix} 1 & 2 & \mu \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 1\cdot(-1 - 1) - 2\cdot(-1 - 0) + \mu\cdot(1 - 0) = -2 + 2 + \mu = \mu$$Si $\mu \neq 0$, $\operatorname{rg}(A^*) = 3 \neq 2$ y el sistema es incompatible. Si $\mu = 0$, el otro menor de orden 3 que contiene a ese menor es $|A| = 0$, así que $\operatorname{rg}(A^*) = 2 = \operatorname{rg}(A) < 3$: compatible indeterminado, con infinitas soluciones.

Se ve también a mano: sumando la segunda y la tercera ecuación sale $x + 2y + z = 0$, que es el primer miembro de la primera; el sistema solo es compatible si $\mu = 0$, y entonces la primera ecuación sobra.

Las soluciones (no se piden, pero sirven para comprobar). Con $\lambda = 1$ y $\mu = 0$ nos quedamos con las dos últimas ecuaciones y tomamos $y = t$:$$x = 1 - t, \qquad y = t, \qquad z = -1 - t, \qquad t \in \mathbb{R}$$Comprobación. Primera ecuación: $(1 - t) + 2t + (-1 - t) = 0 = \mu$ ✓; segunda: $(1 - t) + t = 1$ ✓; tercera: $t + (-1 - t) = -1$ ✓.