Matemáticas IIFácil2 pts

Probabilidad

Castilla y León · 2023 · Julio

Enunciado

De las camionetas que recogen los envases reciclados de una localidad el 45 % son de la marca C1, el 30 % de la marca C2 y el 25 % de la marca C3. La probabilidad de que una camioneta se averíe es: 0,02 si es de la marca C1, 0,05 si es de la marca C2 y 0,04 si es de la marca C3.

a) (0,6 puntos) Indicar las 6 probabilidades que aparecen en el enunciado

b) (0,7 puntos) Si se selecciona una de esas camionetas al azar ¿qué probabilidad tiene de averiarse?

c) (0,7 puntos) Suponiendo que una de esas camionetas se ha averiado, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido una camioneta de la marca C3?

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Resultado

\boxed{\text{a)}\ P(C_1) = 0{,}45,\ P(C_2) = 0{,}30,\ P(C_3) = 0{,}25;\ P(V|C_1) = 0{,}02,\ P(V|C_2) = 0{,}05,\ P(V|C_3) = 0{,}04}

\boxed{\text{b)}\ P(V) = 0{,}034 \qquad \text{c)}\ P(C_3 \mid V) = \frac{5}{17} \approx 0{,}2941}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Las marcas

C_1

C_2

C_3

forman un sistema completo de sucesos (toda camioneta es de una y solo una). Los porcentajes son las probabilidades de cada marca, y las probabilidades de avería son condicionadas a la marca.

En b) aplicamos el teorema de la probabilidad total, y en c), que pregunta la marca sabiendo que hay avería, el teorema de Bayes.

Desarrollo

Llamamos

C_1

C_2

C_3

a «la camioneta es de la marca C1, C2, C3» y

V

a «la camioneta se avería».

a) Las seis probabilidades del enunciado son tres probabilidades de las marcas y tres probabilidades condicionadas de avería:

P(C_1) = 0{,}45, \qquad P(C_2) = 0{,}30, \qquad P(C_3) = 0{,}25

P(V \mid C_1) = 0{,}02, \qquad P(V \mid C_2) = 0{,}05, \qquad P(V \mid C_3) = 0{,}04

Las de las marcas suman

0{,}45 + 0{,}30 + 0{,}25 = 1

, como corresponde a un sistema completo de sucesos.

b) Por el teorema de la probabilidad total:

P(V) = P(C_1)P(V \mid C_1) + P(C_2)P(V \mid C_2) + P(C_3)P(V \mid C_3)

P(V) = 0{,}45\cdot 0{,}02 + 0{,}30\cdot 0{,}05 + 0{,}25\cdot 0{,}04 = 0{,}009 + 0{,}015 + 0{,}010 = 0{,}034

c) Por el teorema de Bayes:

P(C_3 \mid V) = \frac{P(C_3)\,P(V \mid C_3)}{P(V)} = \frac{0{,}25\cdot 0{,}04}{0{,}034} = \frac{0{,}010}{0{,}034} = \frac{5}{17} \approx 0{,}2941

Comprobación: las tres probabilidades a posteriori deben sumar 1:

\frac{0{,}009}{0{,}034} + \frac{0{,}015}{0{,}034} + \frac{0{,}010}{0{,}034} = \frac{0{,}034}{0{,}034} = 1

✓.

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Consejo

En a) la clave es escribir las averías como probabilidades condicionadas, $P(V \mid C_i)$ , y no como $P(V \cap C_i)$ : es lo que se puntúa y lo que luego te hace falta en b) y c).

Un diagrama de árbol con las tres ramas ordena todas las cuentas: b) es la suma de los tres caminos que acaban en avería y c) es el camino de C3 entre esa suma.