Probabilidad

$P(A \cap B)$. Como $A$ y $B$ son independientes:$$P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B) = 0{,}3 \cdot 0{,}4 = 0{,}12$$$P(A \cap C)$. $A$ y $C$ son incompatibles, es decir, $A \cap C = \emptyset$:$$P(A \cap C) = 0$$$P(A \cap \overline{C})$. El suceso $A$ se parte en dos sucesos disjuntos, $A = (A \cap C) \cup (A \cap \overline{C})$, luego$$P(A \cap \overline{C}) = P(A) - P(A \cap C) = 0{,}3 - 0 = 0{,}3$$(Tiene sentido: como $A$ y $C$ no pueden ocurrir a la vez, siempre que ocurre $A$ ocurre $\overline{C}$, es decir, $A \subset \overline{C}$.)

$P(A \cup B)$.$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0{,}3 + 0{,}4 - 0{,}12 = 0{,}58$$$P(\overline{A} \cup \overline{B})$. Por las leyes de De Morgan, $\overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B}$:$$P(\overline{A} \cup \overline{B}) = 1 - P(A \cap B) = 1 - 0{,}12 = 0{,}88$$Comprobación por otro camino: $\overline{A}$ y $\overline{B}$ también son independientes, así que $P(\overline{A} \cup \overline{B}) = 0{,}7 + 0{,}6 - 0{,}7\cdot 0{,}6 = 1{,}3 - 0{,}42 = 0{,}88$ ✓.

El dato $P(C) = 0{,}5$ no hace falta para ninguna de las cinco probabilidades (solo garantiza que la incompatibilidad es posible: $P(A) + P(C) = 0{,}8 \leq 1$).