Integrales

a) Las gráficas se cortan donde $g(x) = f(x)$:$$x^3 = -x^2 \iff x^3 + x^2 = 0 \iff x^2(x + 1) = 0 \iff x = 0 \ \text{o}\ x = -1$$Son las únicas soluciones en todo $\mathbb{R}$, así que en $[-1, 0]$ las gráficas solo se cortan en $x = -1$ (punto $(-1, -1)$) y en $x = 0$ (punto $(0, 0)$).

Para la desigualdad estudiamos el signo de la diferencia:$$g(x) - f(x) = x^2(x + 1)$$Si $x \in [-1, 0]$, entonces $x^2 \geq 0$ y $x + 1 \geq 0$, luego su producto es $\geq 0$. Por tanto$$g(x) - f(x) \geq 0 \iff g(x) \geq f(x) \quad \text{para todo } x \in [-1, 0]$$con igualdad solo en $x = -1$ y $x = 0$. (Por ejemplo, en $x = -\frac{1}{2}$: $g = -\frac{1}{8} > f = -\frac{1}{4}$.)

b) Como las gráficas solo se cortan en $x = -1$ y $x = 0$, el recinto limitado por ellas está comprendido entre esas abscisas, y en él $g \geq f$ (apartado a). Su área es$$\text{Área} = \int_{-1}^{0} \bigl(g(x) - f(x)\bigr)\, dx = \int_{-1}^{0} (x^3 + x^2)\, dx = \left[\frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{0}$$$$= 0 - \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{12} \ \text{u}^2 \approx 0{,}0833 \ \text{u}^2$$Comprobación: el resultado es positivo, como debe ser al integrar $g - f \geq 0$.